[論文レビュー] A max-plus finite element method for solving finite horizon deterministic optimal control problems

Marianne Akian, Stéphane Gaubert+1 more|ArXiv.org|Apr 8, 2004

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、max-plus 変分式と半モジュールへの射影を活用して、有限時間ホライズンの決定的最適制御問題を解くための max-plus 有限要素法を提案する。1次元において、誤差推定値が $\sqrt{\Delta t} + \Delta x / \Delta t$ のオーダーに達し、有限要素法を max-plus 代数フレームワークに一般化する、新規なペトロフ＝ガレルキンに類似したアプローチを提供する。

ABSTRACT

We introduce a max-plus analogue of the Petrov-Galerkin finite element method, to solve finite horizon deterministic optimal control problems. The method relies on a max-plus variational formulation, and exploits the properties of projectors on max-plus semimodules. We obtain a nonlinear discretized semigroup, corresponding to a zero-sum two players game. We give an error estimate of order $(Δt)^{1/2}+Δx(Δt)^{-1}$, for a subclass of problems in dimension 1. We compare our method with a max-plus based discretization method previously introduced by Fleming and McEneaney.

研究の動機と目的

• max-plus 代数を用いて、有限時間ホライズンの決定的最適制御問題を解く数値法の開発を目的とする。
• 変分式と半モジュールへの射影を介して、有限要素法の枠組みを max-plus の文脈に拡張することを目的とする。
• 1次元問題の特定のクラスについて、誤差推定値を明示的に与えた収束解析を提供することを目的とする。
• Fleming や McEneaney による既存の max-plus 離散化手法と比較することを目的とする。
• 線形二次的および距離型の制御問題を含む数値例を通じて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• ハミルトニアン・ジャコビ方程式に基づく max-plus 変分式を用いて最適制御問題を定式化する。
• 残留理論と max-plus 半モジュール上の射影演算子を用いて、離散解作用素を定義する。
• 試験関数と試行関数が異なる関数空間から選ばれるペトロフ＝ガレルキン枠組みを採用する。
• 解空間には2次有限要素、試験空間にはリプシッツ連続有限要素を用いて、有限次元近似を構築する。
• 値関数の max-plus 線形な時間発展を模倣する非線形半群離散化を実装する。
• 数値的実装と検証には Scilab の max-plus ツールボックスを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 max-plus 代数における変分原理を用いて、決定的最適制御問題のための max-plus 有限要素法を定式化できるか？
• RQ2 離散解の誤差は、時間刻み $\Delta t$ と空間刻み $\Delta x$ の変化にどのように依存するか？
• RQ3 試験関数と試行関数の関数空間を異なるものに選ぶと、近似の精度にどのような影響を与えるか？
• RQ4 本手法は、既存の max-plus 基盤の離散化スキームと比較して、性能と収束性において優れているか？
• RQ5 射影に基づく離散化が、真の値関数に収束する近似を与える条件は何か？

主な発見

• 正則性仮定の下で、1次元問題の特定のクラスについて、誤差推定値が $\sqrt{\Delta t} + \Delta x / \Delta t$ のオーダーに達することを確認した。
• この誤差境界は、ハミルトニアン・ジャコビ方程式に対して古典的な有限差分法や有限要素法の収束速度と一致する。
• 数値実験により、適切な試験関数が選ばれた場合、値関数を高精度に近似できることを確認した。
• 解に十分な半凸性が欠ける場合、例えば解が滑らかでない場合に、2次要素を試験関数として選ぶと、射影誤差が収束しなくなる。
• リプシッツ連続有限要素を試験関数として用いることで、滑らかでない、または半凸でない解を有する問題において、精度が著しく向上した。
• 線形二次的および距離型の制御問題において、数値例（$T=1$ および $T=5$）を通じて、本手法が値関数の構造を的確に捉えられることを検証した。