[論文レビュー] A Maximal Inequality of the 2D Young Integral based on Bivariations

Alberto Ohashi, Alexandre B. Simas|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、断面関数の$(p,q)$-二変動ノルムを用いて2次元ヤング積分の新しい最大不等式を確立し、ヤングの古典的1次元理論を2次元に拡張する。主な貢献は、ブラウン運動の局所時刻を含む2次元ヤング積分の強い近似を可能にする経路別推定である。この推定は、近似ランダムウォークの上昇回数に基づく。

ABSTRACT

In this note, we establish a novel maximal inequality of the 2D Young integral $\int_a^b\int_c^d FdG$ in terms of the $(p,q)$-bivariation norms of the section functions $x\mapsto F(x,y)$ and $y\mapsto F(x,y)$ where $G:[a,b] imes [c,d] ightarrow \mathbb{R}$ is a controlled path satisfying finite $(p,q)$-variation conditions. The proof is reminiscent from the Young's original ideas \cite{young1} in defining two-parameter integrals in terms of $(p,q)$-finite bivariations. Our result complements the standard maximal inequality established by Towghi \cite{towghi1} in terms of joint variations. We apply the maximal inequality to get novel strong approximations for 2D Young integrals w.r.t the Brownian local time in terms of number of upcrossings of a given approximating random walk.

研究の動機と目的

• 断面関数の$(p,q)$-二変動ノルムを用いて、ヤングの古典的1次元積分理論を2次元設定に拡張すること。
• 断面関数の$(p,q)$-二変動ノルムを用いて、2次元ヤング積分の最大不等式を確立すること。
• 局所時刻を含む2次元ヤング積分の強い近似を可能にする経路別推定を提供すること。
• 2次元ヤング積分と、ブラウン運動の局所時刻の近似ランダムウォークにおける上昇回数との関係を確立すること。
• 局所時刻を含む真の積分に近づく近似積分の$L^1(\times)$収束を証明すること。

提案手法

• 区間$[a,b] \times [c,d]$のタグ付き分割に基づくステップ関数を用いて2次元ヤング積分を定義する。
• 関数$x \mapsto F(x,y)$および$y \mapsto F(x,y)$の$(p,q)$-二変動ノルムを導入し、変動を制御する。
• ヤングの元来のアイデアを応用して最大不等式を導出し、積分を二変動ノルムと関数のセミノルムで上界で抑え込む。
• 関数$G$が有限の$(p,q)$-変動を持つ制御パスである場合に不等式を適用する。
• 近似ランダムウォークの上昇回数を用いて、ブラウン運動の局所時刻を含む2次元ヤング積分を表現する。
• モーメントバウンドとホルダーの不等式を用いて、近似積分の一様可積分性と$L^1$収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断面関数の$(p,q)$-二変動ノルムを用いて、2次元ヤング積分の最大不等式を確立できるか？
• RQ2 二変動に基づく最大不等式は、トゥーガの共同変動に基づく不等式と比べてどのように異なるか？
• RQ3 ブラウン運動の局所時刻を含む2次元ヤング積分の強い近似を、上昇回数を用いて構成できるか？
• RQ4 近似2次元ヤング積分が真の積分に$L^1$収束するための条件は何か？
• RQ5 上昇過程のモーメントバウンドは、収束証明をどのように支援するか？

主な発見

• 断面関数の$(p,q)$-二変動ノルムを用いて、2次元ヤング積分の新しい最大不等式が確立され、定数は$p,q,\alpha,\delta,T,m$に依存する。
• この不等式は、トゥーガの共同変動に基づく最大不等式を改善しており、断面ごとの変動に焦点を当てている。
• 2次元ヤング積分$\int_0^t \int_{-2^m}^{2^m} U^k(s,x) dg^k(s,x)$は、$k \to \infty$のとき、$L^1(\mathbb{P})$で$\int_0^t \int_{-2^m}^{2^m} \ell(s,x) dg(s,x)$に収束する。
• 近似列の一様可積分性は、$\|U^k\|_{1;1}$および$\|U^k\|_{2;2+\delta}$のモーメントバウンドにより確立される。
• 証明はホルダーの不等式と補題2.6からのモーメントバウンドに依拠しており、仮定(H1)および(H2)の下で収束を保証する。
• この結果は、ランダムウォークの上昇回数を用いた経路別近似が、2次元ヤング積分の近似に有効であることを支持し、確率解析と関数的変動理論を結びつける。