[論文レビュー] A maximum principle for infinite horizon delay equations

Nacira Agram, Sven Haadam+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Economic theories and models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Lévy跳躍を伴う無限時間ホライズンにおける確率的遅延方程式の最適制御に関して、初めての一次および二次の十分な確率的最適性原理と、必要条件を確立する。また、跳躍を伴う先進的後向き確率微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を証明し、境界条件を満たさない無限時間ホライズン制御問題の解法フレームワークを提供する。

ABSTRACT

We prove a maximum principle of optimal control of stochastic delay equations on infinite horizon. We establish first and second sufficient stochastic maximum principles as well as necessary conditions for that problem. We illustrate our results by an application to the optimal consumption rate from an economic quantity.

研究の動機と目的

• 無限時間ホライズンにおける確率的遅延方程式の最適制御理論の欠如に応えること、特に非マルコフ的で動的計画法が適用できない場合を想定する。
• 分布遅延（積分項を介して）とLévy過程によるジャンプ拡散を扱える、確率的最適性原理フレームワークを構築すること。
• 無限時間ホライズン問題における境界条件の課題を克服し、終端値がゼロに収束することを仮定しない十分条件を証明すること。
• 無限時間ホライズンにおける跳躍を伴う先進的後向き確率微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を確立すること。
• 経済学的応用、特に遅延情報と記憶効果を伴う最適消費の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 状態、遅延、および分布記憶成分を含む確率的遅延方程式（SDDE）を用いて、確率的制御問題を定式化する。
• 状態、遅延、記憶変数の随伴過程を組み込んだハミルトニアン関数を導入し、変分解析を可能にする。
• ハミルトニアンの凸性条件と変分不等式を用いて、一次および二次の十分な最適性原理を導出する。
• 伊藤の補題を随伴過程に適用し、パラメータλを用いた指数的重み付けを用いて成長を制御し、可積分性を保証する。
• 収縮性の議論を用いて、無限時間ホライズンにおける跳躍を伴う先進的後向き確率微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を確立する。
• 係数にラプラウン型の条件を課し、グロワール型の不等式を用いて解の差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限時間ホライズンにおける確率的遅延方程式の最適制御に対して、どのように最適性原理を定式化できるか？
• RQ2 無限時間ホライズンにおける跳躍を伴う先進的後向き確率微分方程式の解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 終端値がゼロに収束することを仮定しないで、十分および必要最適性条件を導出できるか？
• RQ4 Lévy過程によるジャンプと積分遅延（分布記憶）を、最適性原理フレームワークにどのように統合できるか？
• RQ5 指数的重み付けは、無限時間ホライズン設定における随伴過程の可積分性および収束性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 跳躍を伴う無限時間ホライズンにおける確率的遅延制御問題に対して、境界条件を仮定しない一次および二次の十分な確率的最適性原理が確立された。
• 最適性の必要条件が導出され、最適制御が許容制御の上でのハミルトニアン変動の非正性と関連づけられた。
• ラプラウン型の条件の下で、無限時間ホライズンにおける跳躍を伴う先進的後向き確率微分方程式の解の存在および一意性が証明された。
• 一意性の証明は、係数のリプシッツ定数を支配できる十分に大きなλを用いた指数的重み付け技術に依存している。
• 随伴過程（p, q, r）が同じ重み付けのもとで区別不能であることが示され、指数的減衰を伴うL²の意味で一意性が確認された。
• 本フレームワークは、確率的遅延過程からの最適消費レートを扱う経済モデルに応用され、マクロ経済学およびファイナンスモデリングにおける実用的意義を示した。