[論文レビュー] A Maximum Principle for Optimal Control of Stochastic Evolution Equations

Kai Du, Qingxin Meng|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非凸な制御集合と制御に依存する拡散項を有する無限次元確率的発展方程式の最適制御に対して、一般の最大原理を確立する。Lebesgue微分と近似を用いた新規の2階双対解析を通じて、作用素値2階随伴過程を導出する。主な貢献は、Pengの有限次元最大原理を抽象的無限次元設定に拡張する必要十分条件を提供することにある。

ABSTRACT

A general maximum principle is proved for optimal controls of abstract semilinear stochastic evolution equations. The control variable, as well as linear unbounded operators, acts in both drift and diffusion terms, and the control set need not be convex.

研究の動機と目的

• 非凸な制御集合と制御に依存する拡散項を有する無限次元確率的制御系に対して、一般の最大原理を導出するという長年のギャップを埋めること。
• Hilbert空間における抽象的非線形確率的発展方程式にPengの有限次元最大原理を拡張すること。
• 作用素値後向き確率的微分方程式を直接解くことが困難であるという課題を克服する、無限次元設定における2階双対解析の新手法を開発すること。
• 制御係数が制御された係数を有する広範なクラスの確率的偏微分方程式に適用可能な必要十分条件を確立すること。
• 制御されたSPDEや非線形コスト関数を持つ確率的熱方程式などの具体的な問題に適用可能な理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 無限次元確率的発展方程式の最適制御問題を定式化し、有界でない線形作用素と制御に依存する漂移項・拡散項を有する半線形方程式を扱う。
• 2階変動法を適用して変動不等式を導出し、摂動解析から生じる2次項に注目する。
• Lebesgue微分定理と近似法を用いて、2次項が確率的双線形関数型に収束することを示す。
• 2階随伴過程を作用素値過程として導入し、双線形関数型を表現することで、最大条件の導出を可能にする。
• 状態過程の$L^p$推定を確立し、確率的双線形関数型の正則性と表現を分析する。
• 1階変動条件が随伴過程と制御の摂動を含む必要十分条件に帰着されることを示し、最大原理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸な制御集合と制御に依存する拡散項を有する無限次元確率的制御系に対して、一般の最大原理を確立できるか？
• RQ2 作用素値後向き確率的微分方程式が解けない場合に、無限次元設定における2階双対解析をどのように行えるか？
• RQ3 コスト関数が状態および制御に関して非線形である場合、2階随伴過程が最適性を特徴付ける役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ4 提案手法は、制御係数が制御された係数を有する具体的な確率的偏微分方程式にどの程度適用可能か？
• RQ5 既存の文献でカバーされていない、制御に二次関数的項を含むコスト関数は、本手法で取り扱えるか？

主な発見

• 本稿は、非凸な制御集合と制御に依存する拡散項を有する抽象的非線形確率的発展方程式の最適制御に対して、一般の最大原理を証明した。
• 2階双対解析は、近似法とLebesgue微分定理を用いて達成され、作用素値後向き確率的微分方程式の直接解法を回避した。
• 2次変動項は、作用素値2階随伴過程によって表現される確率的双線形関数型に収束する。
• 必要十分条件は、1階および2階随伴過程と制御摂動を含む最大条件の形で導出された。
• 抽象的結果は2つの例に応用された：制御された超放物型SPDEと非線形コスト関数を有する確率的熱方程式。両者とも非凸制御と二次コスト項を有する。
• 本手法は、[10] や [5] でカバーされていない問題に適用可能であることが示された。特に、二次コスト関数の取り扱いがその主な要因である。