[論文レビュー] A maximum principle in spectral optimization problems for elliptic operators subject to mass density perturbations

Pier Domenico Lamberti, Luigi Provenzano|arXiv (Cornell University)|May 25, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、全質量が固定された質量密度摂動の下で一般の高階楕円型作用素の固有値に対する最大原理を確立する。単一固有値および多重固有値の対称関数は、このような摂動の下で局所極値をとることができず、これらの量の全球的極値は許容密度の弱*コンパクト集合の境界で達成されることが示される。

ABSTRACT

We consider eigenvalue problems for general elliptic operators of arbitrary order subject to homogeneous boundary conditions on open subsets of the euclidean N-dimensional space. We prove stability results for the dependence of the eigenvalues upon variation of the mass density and we prove a maximum principle for extremum problems related to mass density perturbations which preserve the total mass.

研究の動機と目的

• 楕円型作用素における質量密度 ρ の摂動の下での固有値の安定性および微分可能性を分析すること。
• ディリクレラプラシアンに限らない一般の高階楕円型作用素（同次境界条件を満たすもの）へのスペクトル最適化の最大原理の拡張すること。
• 全質量が固定で密度が有界な制約のもとでの固有値の極値の位置を同定すること。
• 単一固有値および多重固有値の対称関数の極値が許容密度集合の境界で達成されることを確立すること。

提案手法

• Frechét微分と固有値およびその対称関数の実解析的性質を用いた ρ に対する固有値依存性の形式的解析。
• Gårdingの不等式と弱*位相の応用により、L∞(Ω) における固有値写像のコンパクト性および連続性を保証すること。
• 変分法および境界条件の解析を用いて、作用素空間の核内に非自明な定数関数が存在し得ないことを証明すること。
• 極値密度の臨界条件（4.3）の導出により、極値が固有関数が特定の直交性および定数性条件を満たす場合にのみ達成されることを示すこと。
• L∞ 範囲 A ≤ ρ ≤ B の下で、最適密度がほとんど everywhere で A または B に等しくなるように、バング・バング制御結果を高階作用素へ一般化すること。
• 弱*コンパクト性と連続性の利用により、質量密度の制約集合内に極値が存在することを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル最適化の最大原理をディリクレラプラシアンから一般の高階楕円型作用素へ拡張することは可能か？
• RQ2 全質量が固定で密度が有界な制約のもとで、許容質量密度空間における固有値の極値はどこに位置するか？
• RQ3 極値問題において、個々の固有値よりも多重固有値の対称関数が好まれる理由は何か？
• RQ4 固有値が質量密度 ρ の実解析的関数であることを保証する条件は何か？
• RQ5 境界条件は、スペクトル最適化における臨界質量密度の構造にどのように影響するか？

主な発見

• 固有値問題 Lu = λρu のすべての単一固有値および多重固有値の対称関数は、質量密度 ρ の実解析的関数である。
• 固有値 λn[ρ] は ρ を L∞(Ω) の関数として見たとき、弱*連続であるため、弱*コンパクト集合上での極値の存在が保証される。
• 全質量 M が固定された任意の弱*コンパクト集合 C に対して、単一固有値および多重固有値の対称関数の極値は、境界 ∂C ∩ LM で達成される。
• L∞ 範囲 A ≤ ρ ≤ B の下で、固有値の極値はバング・バング密度、すなわちほとんど everywhere で ρ(x) = A(x) または B(x) であるものによって達成される。
• 固有関数が核内に非ゼロ定数関数を許容しない限り、すべての単一固有値に対して最大原理は境界条件に依存せずに成立する。
• 多重固有値の場合、極値は固有関数の二乗和が Ω 全体で定数であるという条件によって特徴づけられる。この条件が成り立つと λ = 0 であることが示される。