[論文レビュー] A Maximum Problem of S.-T. Yau for Variational p-Capacity

Jie Xiao|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ℝⁿにおける凸超曲面の半径が、p ∈ (1,n) のときの変分的p-容量半径の鋭い上界を与えることを証明することで、S.-T. Yauの問題の変種を解決する。p-容量と可積分関数hを含む関数の最大化者があるp-Eikonal方程式を満たし、C²の強い凸性のもとでは点での等式が成り立ち、p→1の極限で表面積が回復され、変分的p-容量が古典的幾何測度論に接続されることを示す。

ABSTRACT

Through using the semidiameter (in connection to: the mean radius and surface radius) of a convex closed hypersurface in $\mathbb R^{n\ge 2}$ as an sharp upper bound of the variational $(1,n) i p$-capacity radius, this paper settles a restriction/variant of S.-T. Yau's \cite[Problem 59]{Yau} from the surface area to the variational $p$-capacity whose limit as $p o 1$ actually induces the surface area.

研究の動機と目的

• ℝⁿにおける凸体上での変分的p-容量による曲率の指定に関するS.-T. Yauの1982年の問題の制限版に取り組む。
• 凸超曲面の半径を用いて、(1,n)∋pの変分的(1,n)∋p-容量半径の鋭い上界を確立する。
• 凸体A ∈ ℂⁿにおける関数F_pcap(A) = ∫_A h dℒⁿ − p-cap(A)の最大化者を特徴づける。
• p→1の極限でp-容量が表面積を回復することを示し、変分的p-容量を古典的幾何測度論に結びつける。

提案手法

• コンパクト台付きC∞関数でf≥1_Kを満たすものに対する∫|∇f|ᵖ dℒⁿの下界によって定義される変分的p-容量を用いる。
• ガウス写像のプッシュフォワードを用いて、∂A上の測度h dℋⁿ⁻¹を𝕊ⁿ⁻¹上のボレル測度g*を介して関連付ける。
• F_pcap(A)の第一変分をとり、球面上の曲率測度μ_{ℋⁿ⁻¹,A}を用いて最大化者の必要条件を導出する。
• C²の強い凸性のもとでは、∂A上でp-Eikonal方程式(p−1)|∇u_A|ᵖ = hが点で成り立つことを確立する。
• ミンコフスキー型公式と曲率測度論を用いて、プッシュフォワード測度を含む臨界点条件を導出する。
• ボネッセン–フュグレーデの不等式を用いて、最大化者の列における退化を除外し、半径が有効な上界であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝⁿにおける凸体の変分的(1,n)∋p-容量半径の鋭い上界は何か？
• RQ2 変分的p-容量関数F_pcap(A) = ∫_A h dℒⁿ − p-cap(A)は凸体上でどのように振る舞い、最大値をいつとるか？
• RQ3 最大化者において均衡ポテンシャルu_Aが満たすPDEは何か？また、指定された関数hとどのように関係するか？
• RQ4 p→1のとき、p-容量関数はどのように振る舞い、表面積を回復するか？
• RQ5 どのような正則性条件下で、F_pcap(A)の最大化者が曲率指定問題の解を与えるか？

主な発見

• ℝⁿにおける凸超曲面の半径は、変分的(1,n)∋p-容量半径の鋭い上界を提供する。
• F_pcap(A)の最大化者A₀ ∈ ℂⁿが存在するための必要十分条件は、あるB₀ ∈ ℂⁿが存在してF_pcap(B₀) ≥ 0を満たすことである。
• 最大化者Aにおいて、ガウス写像g*によるプッシュフォワード測度の意味で、p-Eikonal方程式(p−1)|∇u_A|ᵖ = hが成り立つ。
• ∂AがC²で強く凸である場合、(p−1)|∇u_A|ᵖ = hは∂A上で点で成り立つ。
• p→1のとき、変分的p-容量は表面積に収束し、∫|∇u_A| dℒⁿ → ℋⁿ⁻¹(∂A)として古典的1-容量が回復される。
• hがCᵏ,α級であり、∂AがC²で強く凸である場合、Monge–Ampère方程式の正則性理論により、∂AはCᵏ⁺²,α級である。