[論文レビュー] A McKay Correspondence in Positive Characteristic

Christian Liedtke|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正標数 p ≥ 7 における SL₂ の有限および線型的に再帰的（linearly reductive）な部分群スキームに対して、古典的な McKay 対応を「穏やかでない」（tame でない）場合にまで拡張する McKay 対応を確立する。線型的再帰的性質を用いて、ホップ代数表現を通じて有限群スキームの共役類を定義し、共役類、非可約表現、およびアフィン・ディンキン図の頂点の間の全単射を証明することで、この標数範囲内におけるすべての有理二重点特異点に対して McKay 対応を可能にする。

ABSTRACT

We establish a McKay correspondence for finite and linearly reductive subgroup schemes of $\mathrm{SL}_2$ in positive characteristic. As an application, we obtain a McKay correspondence for all rational double point singularities in characteristic $p\geq7$. We discuss linearly reductive quotient singularities and canonical lifts over the ring of Witt vectors. In dimension 2, we establish simultaneous resolutions of singularities of these canonical lifts via $G$-Hilbert schemes. In the appendix, we discuss several approaches towards the notion of conjugacy classes for finite group schemes: This is an ingredient in McKay correspondences, but also of independent interest.

研究の動機と目的

• 古典的な McKay 対応を、群の位数が p で割り切れる「野生」（wild）な場合を含め、正標数に拡張すること。
• 代数的閉体上の正標数における有限群スキームに対して、意味のある共役類の概念を定義すること。
• 線型的に再帰的群スキームを用いて、正標数 p ≥ 7 における有理二重点特異点に対して McKay 対応を確立すること。
• これらの特異点の導来圏の構造と、ウィット環上での正規化された持ち上げ（canonical lifts）の構造を調査すること。
• 特にホップ代数表現を通じて得られる、有限群スキームにおける共役類の複数の定義方法を比較・評価すること。

提案手法

• 有限群スキーム G の有限次元 k-線形表現の圏を用い、半単純性によって線型的に再帰的群スキームを定義する。
• ホップ代数 H⁰(G, O_G)* 上の拡張された随伴表現を用い、単純部分表現を通じて共役類を定義する。
• 非可約表現の同型類と共役類を用いて、McKay 図形 Γ 及びそのアフィン拡張  Γ̂ を構成する。
• G-Hilbert スキームを用いて、ウィット環上の商特異点の正規化された持ち上げを同時に解消する。
• 特に μ_p^n および α_p のような群スキームに付随するホップ代数の構造を分析し、随伴および拡張された随伴表現の性質を調査する。
• 共役類の定義について6通りのアプローチを比較し、線型的に再帰的の場合に拡張された随伴表現の定義が最も適切であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群の位数が p で割り切れるとしても、正標数 p ≥ 7 における有理二重点特異点に対して McKay 対応を確立できるか？
• RQ2 特に群がエタールでない場合に、正標数における有限群スキームの共役類の適切な一般化は何か？
• RQ3 線型的に再帰的状況下で、ホップ代数 H⁰(G, O_G)* の表現は、共役類および非可約表現とどのように関係するか？
• RQ4 ウィット環上での商特異点の正規化された持ち上げが、G-Hilbert スキームを用いて同時に解消可能となる範囲はどの程度か？
• RQ5 有限群スキームにおける共役類の複数の定義のうち、一貫性があり有用な McKay 対応を導くのはどれか？

主な発見

• 正標数 p ≥ 7 におけるすべての有理二重点特異点に対して、SL₂ の有限および線型的に再帰的部分群スキームを用いて McKay 対応が確立された。
• 体 k 上の有限かつ線型的に再帰的群スキーム G の共役類の数は、G の単純表現の同型類の数に等しい。
• ホップ代数 H⁰(G, O_G)* 上の拡張された随伴表現は、共役類に対応する同型成分に分解され、表現論的定義としての共役類の定義が可能になる。
• 線型的に再帰的群スキームでは、G_abs = G(k) の正規表現の双対が共役類によってインデックス付けされた成分に分解され、共役類と非可約表現の間の双対性が示唆される。
• ウィット環上での線型的に再帰的商特異点の正規化された持ち上げは、2次元において G-Hilbert スキームを用いて同時に解消可能である。
• 拡張された随伴表現のアプローチは、野生の場合でも一貫した共役類の定義を提供するが、A や A* 上の随伴表現は半単純でない可能性があるため、それらとは異なり、一貫性に欠ける。