[論文レビュー] A McKean optimal transportation perspective on Feynman-Kac formulae with application to data assimilation

Yuan Cheng, Sebastian Reich|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 87被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、McKean過程と最適輸送を用いたFeynman-Kac公式の新しい視点を導入し、データ同化のための高度な逐次モンテカルロ法の開発を可能にする。最適輸送を用いて予測分布と解析分布を結合することで、局所化と粒子の線形変換を用いることで高次元系における次元の呪いを軽減する、アンサンブル変換粒子フィルタ（ETPF）を提案する。

ABSTRACT

Data assimilation is the task of combining mathematical models with observational data. From a mathematical perspective data assimilation leads to Bayesian inference problems which can be formulated in terms of Feynman-Kac formulae. In this paper we focus on the sequential nature of many data assimilation problems and their numerical implementation in form of Monte Carlo methods. We demonstrate how sequential data assimilation can be interpreted as time-dependent Markov processes, which is often referred to as the McKean approach to Feynman-Kac formulae. It is shown that the McKean approach has very natural links to coupling of random variables and optimal transportation. This link allows one to propose novel sequential Monte Carlo methods/particle filters. In combination with localization these novel algorithms have the potential of beating the curse of dimensionality, which has prevented particle filters from being applied to spatially extended systems.

研究の動機と目的

• 逐次的データ同化問題を、McKean過程フレームワークを用いてFeynman-Kacモデルに再定式化すること。
• 空間的に拡張された系における粒子フィルタの次元の呪いを、最適輸送理論を活用することで解消すること。
• 予測分布と解析分布の最適な結合を保証する、新しいクラスの逐次モンテカルロ法—具体的にはアンサンブル変換粒子フィルタ（ETPF）—の開発。
• 局所化とガウス・ミックス近似を組み込むことで、従来の粒子フィルタリング手法を拡張し、より高いロバスト性とスケーラビリティを実現すること。
• 確率的微分方程式と相互作用粒子系を用いて、連続時間フィルタリング問題へのフレームワークの一般化。

提案手法

• 尤度関数から導かれる時間依存の遷移核と重み関数を用いて、逐次ベイズ推論を時間依存のFeynman-Kac再帰に再定式化する。
• 一貫性条件（事前分布と事後分布を結ぶ条件）を満たす時間依存のマルコフ核を構築することで、McKeanアプローチを適用する。
• 最適輸送理論を用いて、予測分布と解析分布の間の最適な結合（最適カップリング）を定義し、Wasserstein距離を最小化する。
• 線形輸送を介してアンサンブル変換粒子フィルタ（ETPF）を導出する：線形最適輸送問題を解く行列Sを用いて予測粒子を変換する。
• R-局所化を導入することで、ETPFを空間的に拡張された系に拡張し、粒子の劣化を軽減し、高次元での性能を向上させる。
• 観測によって駆動される確率的微分方程式として粒子の動的挙動をモデル化することで、連続時間フィルタリングへの一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 McKean過程フレームワークを用いることで、最適な結合を伴う時間発展するマルコフ過程として逐次的データ同化を解釈する方法は何か？
• RQ2 最適輸送は、高次元系における効率的で安定した粒子フィルタの構築において、果たす役割は何か？
• RQ3 アンサンブル変換粒子フィルタ（ETPF）は、空間的に拡張された系において、標準的な粒子フィルターよりも安定性と精度に優れていると期待できるか？
• RQ4 ETPFフレームワークにおける局所化は、粒子フィルタリングにおける次元の呪いをどのように軽減するか？
• RQ5 ETPFは、ガウス・ミックス予測と連続時間観測モデルへと拡張可能か？

主な発見

• 最適輸送の視点により、予測分布と解析分布の最適な結合を達成する、新たな逐次モンテカルロ法—アンサンブル変換粒子フィルタ（ETPF）—の構築が可能になった。
• ETPFは、予測分布と解析分布の間のWasserstein距離を最小化する粒子の線形変換を用いることで、高次元系において標準的な粒子フィルターよりも優れた性能を示す。
• ETPFフレームワークにおける局所化は、次元の呪いを効果的に軽減し、標準的な粒子フィルタが失敗する空間的に拡張された系への応用を可能にする。
• 予測分布を経験的分布から重み付きガウス・ミックスに置き換えることで、ETPFはガウス・ミックス予測へと拡張可能であり、観測作用素が線形である場合には解析的扱いが可能になる。
• フレームワークは連続時間フィルタリングへ一般化可能であり、ETPFの動的挙動は観測によって駆動される確率的微分方程式系として表現される。
• 複数の尤度コピーを用いたFeynman-Kac公式の段階的定式化により、安定な重み更新が可能となり、無限大の増分の極限において、連続的EnKFが回復される。