[論文レビュー] A Mean-field Approach for Controlling Singularly Perturbed Multi-population SIS Epidemics

P T Akhil, Eitan Altman+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1つの移動型コミュニティと複数の孤立型コミュニティを有する多集団SIS感染症を制御するための平均場特異摂動法を提案する。コミュニティ間の相互作用を制御可能なレートとしてモデル化することで、特異摂動理論を用いて低次元の常微分方程式（ODE）系を導出し、ポントリャーギンの最小原理を用いて最適制御を可能にする。主な結果は、感染が孤立したコミュニティで消滅するのを防ぐために移動ノードが伝播を促進する場合、すべてのコミュニティで感染が持続可能になることであり、大規模な集団において制御方策が実際に近似的に最適であることが保証される。

ABSTRACT

We consider a multi-population epidemic model with one or more (almost) isolated communities and one mobile community. Each of the isolated communities has contact within itself and, in addition, contact with the outside world but only through the mobile community. The contact rate between the mobile community and the other communities is assumed to be controlled. We first derive a multidimensional ordinary differential equation (ODE) as a mean-field fluid approximation to the process of the number of infected nodes, after appropriate scaling. We show that the approximation becomes tight as the sizes of the communities grow. We then use a singular perturbation approach to reduce the dimension of the ODE and identify an optimal control policy on this system over a fixed time horizon via Pontryagin's minimum principle. We then show that this policy is close to optimal, within a certain class, on the original problem for large enough communities. From a phenomenological perspective, we show that the epidemic may sustain in time in all communities (and thus the system has a nontrivial metastable regime) even though in the absence of the mobile nodes the epidemic would die out quickly within each of the isolated communities.

研究の動機と目的

• 移動型集団によるコミュニティ間相互作用が、本来は急速に消滅するはずの孤立コミュニティにおいても感染を維持可能かどうかを分析すること。
• 有限時間枠内で情報拡散（または感染拡大）を最大化するとともに、移動型コミュニティの相互作用に対する制御コストを最小化するスケーラブルな制御戦略を開発すること。
• 平均場および特異摂動近似を用いて、元の確率的感染プロセスと低次元の決定的フラッド限界との間の明確な関係を確立すること。
• 低次元系から導出された最適制御方策が、大規模集団の状況において元のシステムに対して実際に近似的に最適であることを証明すること。

提案手法

• コミュニティの規模を無限大にスケーリングした後、感染集団のダイナミクスの平均場フラッド近似として、多次元常微分方程式（ODE）を導出する。
• 特異摂動理論を適用し、孤立コミュニティ内での速いダイナミクスと移動コミュニティでの遅いダイナミクスを分離し、システムを1次元ODEに簡略化する。
• 固定時間枠内での最適制御方策を、Pontryaginの最小原理を用いて低次元ODE系に対して導出する。
• 集団サイズが増加する際、元プロセスにおける感染ノードの経験的分布が低次元系の軌道に収束することを示し、フラッド近似のタイトネスを確立する。
• Doobの不等式およびMarkovの不等式を用いて近似誤差を評価し、特定のスケーリング下で確率的収束が $ O(1/\text{log } n) $ のレートで成立することを示す。
• 元のシステムの価値関数が $ n \to \infty $ の際に低次元系の価値関数に収束することを証明することで、制御方策の近似的最適性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動型コミュニティが存在する場合、本来は急速に消滅するはずの孤立コミュニティにおいても、感染が持続可能か？
• RQ2 有限時間枠内で感染拡大を最大化し、制御コストを最小化する最適制御方策は何か？
• RQ3 大規模集団において、低次元ODEモデルが完全な確率的感染プロセスの挙動をどの程度正確に近似できるか？
• RQ4 フラッド限界と特異摂動簡略化が収束性および近似的最適性の観点から厳密に正当化可能か？
• RQ5 コミュニティの規模が増大する際、フラッド近似および制御方策の元システムへの収束速度はどの程度か？

主な発見

• 感染は、移動型集団によるコミュニティ間伝播のおかげで、本来は急速に消滅するはずのすべての孤立コミュニティで持続可能になる。
• 低次元1次元ODE系は、完全なシステムの長期的挙動を正確に捉えており、適切なスケーリング下でフラッド近似誤差が $ O(1/\log n) $ で有界である。
• 低次元系から導出された最適制御方策は、元のシステムに対して実際に近似的に最適であり、価値関数の差が $ n \to \infty $ の際に消えることが保証される。
• 近似誤差の収束速度は $ O(1/\log n) $ であり、フラッド限界からの大きな逸脱確率は $ O(1/\log n) $ のレートで減少する。
• 解析におけるリプシッツ定数は $ O(1/\varepsilon) $ のスケーリングを示し、$ \varepsilon $ が $ \varepsilon \geq C/\log n $ の下で $ \varepsilon \to 0 $ に適切にスケーリングされる場合、誤差境界が消えることが示された。
• 元問題の価値関数は、低次元問題の価値関数に収束し、その差が定数倍の $ O(1/\log n) $ で有界であることが確認され、制御方策の近的最適性が裏付けられた。