[論文レビュー] A mean field model for the collective behaviour of interacting multi-species particles. Mathematical results and application to the inverse problem

Micaela Fedele|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多種多様な粒子が相互作用する系に対する平均場モデルを提案し、ハミルトニアンに凸性および斉一次性の仮定をおくと、スピンの正規化された和が熱力学的極限において多変量正規分布または高階指数分布に収束することを証明する。さらに、最大尤度推定を用いて、実測された磁化および相関データから相互作用行列と外部場の正確な式を導出することにより、逆問題を解く。

ABSTRACT

The study of the normalized sum of random variables and its asymptotic behaviour has been and continues to be a central chapter in probability and statistical mechanics. When those variables are independent the central limit theorem ensures that the sum with square-root normalization converges toward a Gaussian distribution. The main topic of this thesis is the generalization of the central limit theorem for spin random variable whose interaction is described by a multi-species mean-field Hamiltonian. We found the conditions, in terms of the interaction, that lead in the thermodynamic limit to a Gaussian behaviour and those who lead to a higher order exponential distribution, under the assumption that the Hamiltonian is a convex function of the magnetizations and the first non vanishing partial derivatives of the pressure functional are all the same order (homogeneity hypothesis). The thesis handle other two problems concerning the multi-species mean-field model: the computation of the exact solution of the thermodynamic limit of the pressure and the solution of the inverse problem.

研究の動機と目的

• 凸かつ斉一次なハミルトニアンを有する多種多様な平均場スピン系に対して中心極限定理を一般化すること。
• 磁化配置の尾部推定を用いて、多種多様な平均場モデルにおける圧力の正確な熱力学的極限を計算すること。
• 実測データからの最大尤度推定を用いて、相互作用パラメータ（J, h）を推定することにより逆問題を解くこと。
• 関連関数fのヘッセ行列および臨界点に基づいて、正規化スピン和の極限分布が正規分布または高階指数分布として特徴づけられることを示すこと。
• キュリー＝ヴァイスモデルを多種多様系に拡張し、スピン和の確率的解析を通じて相転移を分析すること。

提案手法

• 同一の磁化ベクトルを持つスピン配置の数の尾部推定を用いて、圧力の熱力学的極限を計算する。
• エリス、ニューマン、ローゼンの手法を応用し、熱力学的極限における正規化スピン和の漸近的分布を分析する。
• 関数fのグローバル最大点におけるヘッセ行列の行列式が非ゼロであれば、極限分布が多変量正規分布となることを導出。ヘッセ行列がゼロであれば、一階非ゼロ偏微分が斉一次的である場合、極限分布は高階指数分布となる。
• ハミルトニアンに関連する関数fの幾何的性質とモデルの臨界挙動との関連を確立する。
• 平均場方程式を逆算することで、実測された磁化および相関データから相互作用行列Jと場のベクトルhを回復する逆問題を解く。
• 独立同分布のM個のスピン配置に対して最尤推定を適用し、磁化および相関の実測平均を用いて、式(3.16)および(3.17)の関係式によりJとhの閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多種多様な平均場モデルにおけるスピンの正規化された和が、熱力学的極限で正規分布に収束する条件は何か？
• RQ2 関数fのグローバル最大点におけるヘッセ行列が特異である場合、極限分布はどのように変化するか？
• RQ3 凸ハミルトニアンを有する多種多様な平均場モデルにおける圧力の正確な熱力学的極限の形は何か？
• RQ4 磁化および相関に関する実測データを用いて、このようなモデルの逆問題を正確に解くことができるか？
• RQ5 関数fの最初に非ゼロとなる偏微分が同じ次数（斉一次性）である場合、極限指数分布の次数はどのように影響を受けるか？

主な発見

• 関数fの唯一のグローバル最大点におけるヘッセ行列が非退化であれば、スピンの正規化された和は多変量正規分布に収束する。
• ヘッセ行列の行列式がゼロであるが、最初に非ゼロとなる偏微分が次数kの斉一次関数である場合、極限分布は次数kの高階指数分布となる。
• 同一の磁化ベクトルを持つ配置数の尾部推定を用いて、圧力の正確な熱力学的極限が計算可能である。
• 実測データからの最尤推定を用いて、縮約された相互作用行列Jおよび場のベクトルhの明示的式が導出可能である。
• 式(3.16)および(3.17)の関係式を用いて、磁化および対間相関の実測平均からJとhが回復可能である。
• ハミルトニアンが磁化に関して凸であり、かつfの最初に非ゼロとなる微分が同じ次数（斉一次性仮定）にある場合に、この解法は有効である。