[論文レビュー] A mean value formula and a Liouville theorem for the complex Monge-Ampère equation

Chao Li, Jiayu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非負のリッチ曲率をもつ完備リーマン多様体上での有界なサブハーモニックヘルミート行列値関数に対して、平均値公式を確立し、その平均が大きな球上で定数ヘルミート行列に収束することを証明する。応用として、積多様体上の複素マソン＝アンペール方程式に対して、Liouville型定理を示し、特定の曲率および体積成長条件の下で、ケーラー計量が $\mathbb{C}^m$ 上の平坦計量とコンact多様体上のリッチ平坦計量の和に分解されることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we prove a mean value formula for bounded subharmonic Hermitian matrix valued function on a complete Riemannian manifold with nonnegative Ricci curvature. As its application, we obtain a Liouville type theorem for the complex Monge-Ampère equation on product manifolds.

研究の動機と目的

• 非負リッチ曲率をもつ完備リーマン多様体上での有界なサブハーモニックヘルミート行列値関数に対して、古典的なサブハーモニック関数の平均値性質を拡張すること。
• $\mathbb{C}^m \times Y$ という積多様体上で、複素マソン＝アンペール方程式に対してLiouville型定理を確立すること。ここで $Y$ は非負リッチ曲率をもつコンパクトケーラー多様体である。
• Calabi $\mathcal{C}^3$ 評価を必要とせず、代わりに行列値関数の平均値収束を用いることで、従来の複素マソン＝アンペール方程式に関する結果を一般化すること。
• 体積成長および曲率の有界性の下で、$\mathbb{C}^m \times Y$ 上のケーラー計量が、$\mathbb{C}^m$ 上の平坦計量と $Y$ 上のリッチ平坦計量の和に分解されることを示すこと。

提案手法

• すべての $\xi \in \mathbb{C}^m$ に対して、二次形式 $\xi A \xi^*$ のサブハーモニック性を用いて、ヘルミート行列値関数のサブハーモニック性を定義する。
• 平均値公式を証明する：有界なサブハーモニックヘルミート行列値関数 $A$ の、大きな測地球上での平均は、半径 $r \to \infty$ の極限で定数ヘルミート行列 $A_0$ に収束する。すなわち、$\lim_{r\to\infty} \fint_{B_r(p)} A \, dV_g = A_0$。
• 平均の収束性と最大原理を用いて、$M$ 上で $A \leq A_0$ が成り立つことを示す。
• ケーラー計量 $\omega$ の成分 $u^{i\bar{j}}$ の逆行列に対して、平均値公式を適用し、それらの平均が定数行列 $A$ に収束することを示す。
• 体積比較および計量比較推定を用いて、$\mathbb{C}^m \times Y$ 上の $\omega$-球平均と $g_0$-球平均を関係づけ、$\fint_{B_r(z_0)\times Y} \det(u^{i\bar{j}}) \, dV_{g_0} = \det A$ を確立する。
• これより、$\det(u^{i\bar{j}}) \equiv \det A = c$ が成り立ち、そこから $u^{i\bar{j}} \equiv A$ を導き、計量が $\mathbb{C}^m$ 方向に定数であることを示し、したがって $\nabla_{g_0} g = 0$ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負リッチ曲率をもつ完備リーマン多様体上での有界なサブハーモニックヘルミート行列値関数に対して、平均値公式を確立できるか？
• RQ2 このような行列値関数の平均の収束性は、その背後にある多様体の幾何に剛性をもたらすか？
• RQ3 $\mathbb{C}^m \times Y$ 上の複素マソン＝アンペール方程式において、ケーラー計量が $\mathbb{C}^m$ 上の平坦計量と $Y$ 上のリッチ平坦計量の和に分解される条件は何か？
• RQ4 Calabi $\mathcal{C}^3$ 評価に依存せず、複素マソン＝アンペール方程式のLiouville定理を証明できるか？
• RQ5 平均値公式は、積空間上のケーラー計量の剛性を示す際に果たす役割は何か？

主な発見

• 有界なサブハーモニックヘルミート行列値関数 $A$ の、大きな測地球上での平均は、定数ヘルミート行列 $A_0$ に収束する。すなわち、$\lim_{r\to\infty} \fint_{B_r(p)} A \, dV_g = A_0$。
• 行列 $A$ は $M$ 上で $A \leq A_0$ を満たし、平均の極限で等号が成り立つ。
• $\mathbb{C}^m \times Y$ 上の複素マソン＝アンペール方程式において、与えられた曲率および体積成長の有界性の下で、$\det(u^{i\bar{j}}) \equiv \det A = c$ が成り立ち、$c$ は正の定数である。
• 逆計量成分 $u^{i\bar{j}}$ は定数行列であるため、$u^{i\bar{j}} \equiv A$ が成り立つ。
• $\{z\} \times Y$ へのケーラー形式 $\omega$ の引き戻しは $i_z^* \omega = \omega_Y$ を満たし、計量が $\mathbb{C}^m$ 方向に一定であることが示される。
• 計量接続 $\nabla_{g_0} g$ は消える。すなわち $\nabla_{g_0} g = 0$ であり、計量は $\mathbb{C}^m$ 方向に平坦で、全計量は $\omega = \omega_Y + S^* \omega_{\mathbb{C}^m}$ に分解される。