[論文レビュー] A measure and orientation preserving homeomorphism of a cube with Jacobian equal $-1$ almost everywhere

Paweł Goldstein, Piotr Hajłasz|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、単位n次元立方体からそれ自身への、ほとんど everywhereで近似的に微分可能で、方向性および測度を保存するホメオモルフィズムを構築する。ヤコビ行列式はほとんど everywhereで-1に等しい。主な貢献は、このような変換が存在することを示し、方向性および測度を保存する微分同相写像によって一様近似可能であることを証明したことである。これは、この文脈における負のヤコビ行列式と測度および方向性保存の整合性に関する長年の問いを解決するものである。

ABSTRACT

We construct an almost everywhere approximately differentiable, orientation and measure preserving homeomorphism of a unit $n$-dimensional cube onto itself, whose Jacobian is equal to $-1$ a.e. Moreover we prove that our homeomorphism can be uniformly approximated by orientation and measure preserving diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• 単位n次元立方体のホメオモルフィズムを構築し、測度および方向性を保存するとともに、ヤコビ行列式がほとんど everywhereで-1に等しいこと。
• このようなホメオモルフィズムが、方向性および測度を保存する微分同相写像によって一様近似可能であることを示すこと。
• 負のヤコビ行列式が測度および方向性を保存する写像において、どのようにして矛盾なく共存しうるかを解明すること。
• 高次元における体積保存ホメオモルフィズムの正則性および微分可能性の性質を拡張すること。

提案手法

• 単位n次元立方体上で、慎重に設計された区分的線形かつほぼ everywhereで微分可能な写像を用いてホメオモルフィズムを構築する。
• 局所的な体積の拡大および収縮を体積保存的に行うことで、ヤコビ行列式がほとんど everywhereで-1に等しくなるように制御する。
• 立方体をdyadicな部分立方体に分割し、各部分で測度および方向性を保存する局所的変換を定義することで、全体としての測度および方向性保存を確保する。
• 極限過程を適用して、測度および方向性を保存する滑らかな微分同相写像への一様近似を保証する。
• 近似的な微分可能性の概念を用いて、ホメオモルフィズムの滑らかでない部分を扱いながらもヤコビ行列式の制御を維持する。
• 各々が測度および方向性を保存する微分同相写像の列が、構築されたホメオモルフィズムに一様収束することに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位立方体のホメオモルフィズムが、測度および方向性を保存するとともに、ヤコビ行列式がほとんど everywhereで-1に等しいことは可能か？
• RQ2 このようなホメオモルフィズムを、方向性および測度を保存する微分同相写像によって一様近似することは可能か？
• RQ3 負のヤコビ行列式が、ホメオモルフィズムにおいて、全体としての測度および方向性保存と共存できるか？
• RQ4 体積保存ホメオモルフィズムが、ほとんど everywhereで負のヤコビ行列式をもつために満たすべき構造的性質は何か？

主な発見

• 単位n次元立方体のホメオモルフィズムが存在し、ほとんど everywhereで近似的に微分可能で、測度および方向性を保存し、ヤコビ行列式がほとんど everywhereで-1に等しい。
• 構築されたホメオモルフィズムは、方向性および測度を保存する微分同相写像によって一様近似可能であり、このような微分同相写像の閉包にこの特異なケースが含まれることを示している。
• このような写像の存在は、負のヤコビ行列式がホメオモルフィズムにおける全体的な測度および方向性保存を妨げないことを示している。
• 構成はdyadicな分割と、符号反転を持つヤコビ行列式をもつ局所的体積保存変換に依存しており、全体としての方向性保存がバランスされる。