[論文レビュー] A method for determining the mod-$p^k$ behaviour of recursive sequences

Christian Krattenthaler, Thomas W. Müller|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

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ひとこと要約

本稿では、代数的微分方程式によって定義される組合せ的数列について、任意の素数のべき $p^k$ を法とする合同式を計算する一般化された手法を提示する。解を $p$-進級数 $\Phi_p(z) = \sum_{n \geq 0} z^{p^n}$ の多項式として表現し、補助的級数 $H_{b_1,\dots,b_r}(z)$ の線形独立性および係数抽出技術を活用することで、 Fuß–Catalan 数、Kreweras の歩み、非交叉グラフ、バケツツルの木といった数列について、任意の素数のべきを法とする明示的な合同式を導出する。

ABSTRACT

We present a method for obtaining congruences modulo powers of a prime number~$p$ for combinatorial sequences whose generating function satisfies an algebraic differential equation. This method generalises the one by Kauers and the authors [Electron. J. Combin. 8(2) (2012), Art. P37; arXiv:1107.2015] from $p=2$ to arbitrary primes. Our applications include congruences for numbers of non-crossing graphs and numbers of Kreweras walks modulo powers of~$3$, as well as congruences for Fuß-Catalan numbers and blossom tree numbers modulo powers of arbitrary primes.

研究の動機と目的

• mod-$2^k$ 合同式の計算手法を任意の素数のべき $p^k$ に一般化すること。
• 代数的微分方程式を満たす数列について、$p^k$ を法とする合同式を体系的に導出するフレームワークを構築すること。
• $\Phi_p(z)$ のべきからの係数抽出を、線形独立な補助的級数 $H_{b_1,\dots,b_r}(z)$ への分解によって効率的に行えるようにすること。
• 非交叉グラフ、Kreweras の歩み、バケツツルの木といった具体的な組合せ的数列にこの手法を適用し、$p^k$ を法とする新しい合同式を得ること。

提案手法

• 整数環上での微分代数的べき級数の解を、$\mathbb{Z}[z,z^{-1}]$ に倣った係数をもつ $\Phi_p(z)$ の多項式として表現すること。
• $\Phi_p(z)$ のべきを分解するために、補助的級数 $H_{b_1,\dots,b_r}(z) = \sum_{n_1 > \cdots > n_r \geq 0} z^{b_1 p^{n_1} + \cdots + b_r p^{n_r}}$ を導入すること。
• パラメータが $p$ と互いに素であるとき、$1$ および $H_{b_1,\dots,b_r}(z)$ が $\mathbb{Z}[z,z^{-1}]$ および $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}[z,z^{-1}]$ 上で線形独立であることを証明すること。
• 任意の $H_{b_1,\dots,b_r}(z)$ が、独立な基底級数の $\mathbb{Z}[z,z^{-1}]$-線形結合として表現可能であることを示すこと。
• 超幾何恒等式および Pfaff–Saalschütz の公式を用いて、$H_{b_1,\dots,b_r}(z)$ からの係数抽出の有効なアルゴリズムを確立すること。
• このフレームワークを応用し、Fuß–Catalan 数やバケツツルの木の数の類似数列について、$p^k$ を法とする明示的な合同式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 mod-$2^k$ 合同式の計算手法を任意の素数のべき $p^k$ に一般化できるか？
• RQ2 $\Phi_p(z)$ が $p^k$ を法として満たす多項式恒等式の最小次数は何か？ また、その上限はどのように得られるか？
• RQ3 組合せ的応用を想定して、$\Phi_p(z)$ のべきから $p^k$ を法とする係数を効率的に抽出する方法は何か？
• RQ4 非交叉グラフや Kreweras の歩みの数について、$3^k$ を法とする新しい合同式は得られるか？
• RQ5 $k$ が $p$ のべきであるとき、この手法により Fuß–Catalan 数やバケツツルの木の数について、$p^k$ を法とする明示的な合同式を得られるか？

主な発見

• 本稿では、$\Phi_p(z)$ が $\mathbb{Z}[z]$ 上では超越的だが、$p^k$ を法として代数的であることが示され、$p^k$-合同式への体系的かつ一貫したアプローチが可能になる。
• $\Phi_p(z)$ が $p^k$ を法として満たす最小次数に関する予想が、下界ではあるが、必ずしもタイトではないことが示された。
• 頂点数 $n$ の非交叉グラフの数について、$3^k$ を法とする合同式が導出され、$p=2$ の場合の先行結果が拡張された。
• 平面内での Kreweras の歩みの長さ $n$ の数について、本手法を用いて $3^k$ を法とする合同式が得られた。
• $k = p^m$ のとき、Fuß–Catalan 数 $F(n;k) = \frac{1}{n}\binom{kn}{n-1}$ について、$p^k$ を法とする明示的な合同式が証明された。
• $p$-分岐バケツツルの木の数（$n$ 個の白いノードをもつもの）$B(n;p) = \frac{p+1}{n((p-1)n+2)}\binom{pn}{n-1}$ についても、$p^k$ を法とする合同式が確立された。