[論文レビュー] A method for Hedging in continuous time

Yoav Freund|ArXiv.org|Apr 21, 2009

Advanced Bandit Algorithms Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正規化ハンジングフレームワークに基づく連続時間のヘッジアルゴリズムを提示する。伊藤積分を用いてポートフォリオを動的に再調整し、最小の後悔を達成する。一般の価格ダイナミクス（トレンドやボラティリティの仮定なし）の下で、最良の資産に対する後悔が $\sqrt{2c(t)(\ln N + 1)}$ で有界であることを証明する。また、資産の $\epsilon$-パーセンタイルに対するより緊密な境界も得られる。

ABSTRACT

We present a method for hedging in continuous time.

研究の動機と目的

• 特定の価格ダイナミクスを仮定せずに、最良の資産に対する後悔を最小化する連続時間のポートフォリオ管理アルゴリズムの開発。
• 連続時間における正規化ハンジングアルゴリズムの分析を行い、離散時間よりも数学的に洗練され、より緊密な後悔境界を達成すること。
• 後悔の保証を、資産の $\epsilon$-パーセンタイルにまで拡張し、固定再調整ポートフォリオなどの非可算無限集合への応用を可能にすること。
• イト過程と確率積分法を用いてヘッジ問題を形式化し、因果性と非予測可能なポートフォリオ方策を保証すること。
• 一般のボラティリティ条件のもとで、後悔の増大を抑制するための、潜在関数パラメータ $c(t)$ の動的制御則を導出すること。

提案手法

• 資産の対数価格を、ドリフト $\hat{a}^i(t)$ とボラティリティ $\hat{b}^{i,j}(t)$ を持つイト過程としてモデル化し、非予測的かつ適応的プロセスであることを仮定する。
• ポートフォリオ分布 $P_t^i$ を、$P_t^i \geq 0$ かつ $\sum_i P_t^i = 1$ を満たす確率過程として定義し、資産の保存を保証する。
• 後悔の追跡とその増大の制御を目的に、潜在関数 $\phi(R_t^i, c(t)) = \exp\left(\frac{(R_t^i)^2}{2c(t)}\right)$ を導入する。
• 伊藤の公式を適用し、潜在関数の微分を導出し、平均潜在関数が一定であるという条件から $c(t)$ の変化率を導出する。
• 最適化により後悔分布を考慮し、$\frac{dc(t)}{dt} \leq 6V^M(t)$ を導出する。ここで $V^M(t)$ は時刻 $t$ における最大ボラティリティを表す。
• 境界 $\frac{dc(t)}{dt} \leq V^M(t) \cdot \frac{\sum_{i;x_i>0}(1+x_i^2)e^{x_i^2/2}}{\sum_{i;x_i>0}x_i^2e^{x_i^2/2}}$ を用い、$x_i = \sqrt{2}$ のとき最大値が 6 に達することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化ハンジングアルゴリズムは、離散時間よりも洗練され、より緊密な後悔境界を有する連続時間へ拡張可能か？
• RQ2 連続時間ポートフォリオ管理において、後悔が有界であることを保証するための、潜在関数パラメータ $c(t)$ の最適な動的制御則は何か？
• RQ3 アルゴリズムの後悔は、資産数 $N$ と価格変動のボラティリティにどのように依存するか？
• RQ4 後悔境界を、資産の $\epsilon$-パーセンタイルにまで一般化可能か？これにより、非可算無限のポートフォリオ集合への応用が可能になるか？
• RQ5 最大ボラティリティ $V^M(t)$ と潜在関数パラメータ $c(t)$ の増加率の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 最良の単一資産に対する後悔は、$\sqrt{2c(t)(\ln N + 1)}$ で有界であり、ここで $c(t)$ は価格変動の累積的効果を表す。
• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\epsilon$-パーセンタイル資産に対する後悔は $\sqrt{2c(t)(\ln(1/\epsilon) + 1)}$ で有界であり、大規模または無限集合の資産に対しても堅牢な性能を実現可能である。
• $c(t)$ の変化率は $\frac{dc(t)}{dt} \leq 6V^M(t)$ で有界であり、ここで $V^M(t)$ は時刻 $t$ における資産間の最大ボラティリティを表す。
• 後悔値 $R_t^i$ が $x_i = R_t^i / \sqrt{c(t)} = \sqrt{2}$ となるように分布している場合に、導関数式における比が最大値に達し、境界が最も緊密になる。
• 解析により、連続時間フレームワークは、価格過程に追加の仮定を必要とせず、離散時間バージョンよりも洗練され、単純かつ緊密な後悔境界を達成することが示された。
• アルゴリズムは平均潜在関数が時間とともに一定を保つことを保証しており、これは $c(t)$ の動的制御則を導出する上で鍵となり、後悔の有界性を維持する。