[論文レビュー] A method for statistical comparison of histograms

Sergey Bityukov, Nikolai Krasnikov+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2013

Advanced Data Processing Techniques参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、各ビンごとの値の乖離の有意性を計算することでヒストグラムを比較する統計的手法を提案する。有意性の正規化とこれらの有意性のRMSを統計量として用いる。この手法により、合計イベント数が異なるか、ビンごとの分布が異なる場合でも、従来のカイ二乗検定よりも優れた区別性能を示す、2つのヒストグラム間の統計的差の頑健な推定が可能になる。

ABSTRACT

We propose an approach for testing the hypothesis that two realizations of the random variables in the form of histograms are taken from the same statistical population (i.e. that two histograms are drawn from the same distribution). The approach is based on the notion "significance of deviation". Our approach allows also to estimate the statistical difference between two histograms.

研究の動機と目的

• 2つのヒストグラムが同じ母集団から抽出されたものかどうかを検定する統計的手法を開発すること。
• 単なる適合度検定を越えて、2つのヒストグラム間の統計的差を推定すること。
• 合計イベント数が異なる場合でも、より感度が高く解釈可能なヒストグラム間の区別性の測定法を提供すること。
• 高エネルギー物理学実験などの現実の実験監視への応用を可能にすること。

提案手法

• 2つのヒストグラムのビン間の乖離の有意性を、式 $\hat{S}_i = \frac{\hat{n}_{i1} - \hat{n}_{i2}}{\sqrt{\hat{\sigma}^2_{n_{i1}} + \hat{\sigma}^2_{n_{i2}}}}$ を用いて計算する。ここで $\hat{n}_{ik}$ は観測度数であり、分散は $\hat{n}_{ik}$ で近似される。
• ビンごとの有意性のルート・マン・スクエアド（RMS）を、ヒストグラム間のグローバルな距離測度として用いる。
• 合計イベント数が異なる場合のため、正規化された有意性が適用される：$\hat{S}_i(K) = \frac{\hat{n}_{i1} - K\hat{n}_{i2}}{\sqrt{\hat{\sigma}^2_{n_{i1}} + K^2\hat{\sigma}^2_{n_{i2}}}}$、ここで $K = N_1/N_2$。
• 帰無仮説のもとで、正規化された有意性の分布が標準正規分布に近似されることを示している。
• 有意性分布の第一モーメント（$\bar{S}$）と第二中心モーメント（RMS）を用いて、区別性を評価する。
• 正しく判断する確率（$1 - \kappa$）を区別性の指標として用いる。これは第一種および第二種の誤り率から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのヒストグラムのビン間の乖離の有意性が、全体のヒストグラム比較の信頼できる統計量として用いられるか。
• RQ2 2つのヒストグラムが同じ母集団から来ると仮定する帰無仮説のもとで、ビンごとの有意性の分布はどのように振る舞うか。
• RQ3 有意性のRMSが、標準カイ二乗検定よりもヒストグラム間の差をより感度良く測定できるか。
• RQ4 合計イベント数の違いを補正する正規化が、有意性に基づく比較の信頼性と解釈可能性に与える影響は。
• RQ5 平均 $\bar{S}$ とRMSの同時分布が、単一統計量手法に比べてヒストグラムの区別性をどの程度向上させるか。

主な発見

• 2つのヒストグラムが同じ統計的母集団から来ている場合、ビンごとの有意性 $\hat{S}_i$ の分布は標準正規分布に非常に近い。
• 有意性のRMSは、2つのヒストグラム間の統計的差を頑健に測定するグローバルな指標として有効である。
• 合計イベント数が異なるヒストグラムに対しては、正規化された有意性 $\hat{S}_i(K)$ の分布が標準正規分布に近く、妥当な推論が保証される。
• $\bar{S}$ とRMSに基づく手法は、ヒストグラムの区別において93.88%の正しく判断する確率を達成し、カイ二乗法（87.26%）を上回る。
• この手法により、合計イベント数が異なる場合でも、ヒストグラムの形状の微小なずれを検出できるため、実験装置の信頼性ある監視が可能になる。
• モンテカルロシミュレーションから得られる擬似母集団を用いることで、研究中の任意のヒストグラムペアについての区別性を推定できる。