[論文レビュー] A method to compute Segre classes of subschemes of projective space

David Eklund, Christine Jost+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、残余交叉理論とBézout型の公式を用いて、複素射影空間内の部分多様体のセグレ類の次数を計算する、基本的で記号的かつ数値的な手法を提示する。この手法により、Macaulay2におけるグレブナー基底とBertiniにおける数値ホモトピー法を用いて、特に高余次元または複素係数のイデアルに対して、既存のアルゴリズムと比較して顕著な速度優位性を示すセグレ類の次数を効率的に計算可能である。

ABSTRACT

We present a method to compute the degrees of the Segre classes of a subscheme of complex projective space. The method is based on generic residuation and intersection theory. It has been implemented using the software system Macaulay2.

研究の動機と目的

• 複素射影空間内の部分多様体のセグレ類の次数を、計算的に扱いやすい方法で決定すること。
• グレブナー基底と残余交叉理論を用いて、Macaulay2で実装可能な記号的アルゴリズムを提供すること。
• Bertiniの再生カスケードアルゴリズムを用いて、高余次元または複素係数のイデアルに対して、数値的設定にこの手法を拡張すること。
• 本手法の効率性と、AluffiのCSMやMacaulay2のeulerルーチンといった既存のアルゴリズムとの補完的性質を実証すること。
• 特に滑らかな多様体に対して、セグレ類の次数を用いてトポロジカル不変量（例えばオイラー特性）を計算可能にする。

提案手法

• ファルティング＝マクファーソン交叉理論に基づく再帰的残余交叉公式を用い、セグレ類の次数を残余多様体の次数で表現する。
• 残余多様体がイデアル $J_i : I^\infty$ で定義されるというBézoutに類似した定理を適用する。
• 一般の一次形式のべきと残余多様体 $R_j$ の次数を含む方程式系を用いて、セグレ類 $s_i$ の次数を計算する。
• 記号的実装では、Macaulay2におけるグレブナー基底計算を用いて、定義イデアルから残余次数を計算する。
• 数値的実装では、Bertiniの再生カスケードアルゴリズムを活用し、数値的ホモトピー続行法によって残余次数を計算する。
• 本アルゴリズムは基本的でアクセスしやすく、高度な交叉理論を除き、基本的な代数幾何学的知識のみを要する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、基本的な代数幾何学的手法を用いて、射影空間内の部分多様体のセグレ類の次数を効率的に計算できるか？
• RQ2 残余交叉理論を用いて、計算的に実行可能かつ数値的に実装可能な再帰的公式をセグレ類の次数について導出できるか？
• RQ3 本手法は、AluffiのCSMやMacaulay2のeulerルーチンといった既存のアルゴリズムと比較して、どのような性能優位性を示すか？
• RQ4 高余次元や複素係数の設定において、数値的実装が記号的手法を上回る性能を示すのはどのような状況か？
• RQ5 特に滑らかな多様体に対して、セグレ類の次数がオイラー特性のようなトポロジカル不変量をどの程度回復できるか？

主な発見

• Macaulay2における記号的実装は、$\mathbb{P}^6$ 内の有理正規曲線に対して1秒未塔、$\mathbb{P}^8$ 内の曲面に対して89秒未塔の実行時間でセグレ類の次数を効率的に計算した。
• 有理正規曲線 $\mathbb{P}^{10}$ に対して、本手法はAluffiのCSMアルゴリズムを上回り、180秒未塔で完了したのに対し、CSMは3時間を超えた。
• Bertiniにおけるホモトピー続行法を用いた数値的実装により、記号的手法が失敗または極めて遅延する高余次元の多様体に対しても、セグレ類の次数を計算可能となった。
• 本手法は、滑らかな射影多様体のトポロジカルなオイラー特性をセグレ類の次数を用いて計算でき、Macaulay2の「euler」ルーチンの出力と一致した。
• 本アルゴリズムは、既存の手法と強く補完的である：多くの例においてAluffiのCSMよりも高速であり、複素係数や高余次元のイデアルに対しては記号的手法よりもスケーラブルである。
• Bertiniにおける再生カスケードアルゴリズムは、セグレ類計算に必要な残余次数を効果的に計算でき、本問題に対する数値代数幾何の実現可能性を示した。