[論文レビュー] A Metric on Shape Space with Explicit Geodesics

Peter W. Michor, David Mumford+2 more|ArXiv.org|Jun 28, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 48

ひとこと要約

本稿は、平面曲線の形状空間にリーマン計量を導入し、Stiefel や Grassmann 多様体などの古典的多様体と等長写像を保つものであり、これにより測地線の明示的計算が可能になる。主な貢献は、閉曲線のエネルギー的マッチングに関する数値実験で検証された形状空間における測地線の閉形式解の導出であり、回転および再パラメトリゼーションによる商をとった閉曲線の空間が正の断面曲率を持つことが示された。

ABSTRACT

This paper studies a specific metric on plane curves that has the property of being isometric to classical manifold (sphere, complex projective, Stiefel, Grassmann) modulo change of parametrization, each of these classical manifolds being associated to specific qualifications of the space of curves (closed-open, modulo rotation etc...) Using these isometries, we are able to explicitely describe the geodesics, first in the parametric case, then by modding out the paremetrization and considering horizontal vectors. We also compute the sectional curvature for these spaces, and show, in particular, that the space of closed curves modulo rotation and change of parameter has positive curvature. Experimental results that explicitly compute minimizing geodesics between two closed curves are finally provided

研究の動機と目的

• 平面曲線の形状空間に、測地線の明示的計算を可能にするリーマン計量を構築すること。
• 特定の曲線制約下で、形状空間と古典的多様体（例：Stiefel、Grassmann）との等長写像を確立すること。
• パラメトリック形式および再パラメトリゼーション不変形式における明示的測地線方程式を導出すること。
• 特に回転および再パラメトリゼーションによる商をとった閉曲線の空間の断面曲率を計算すること。
• 閉曲線間の最小測地線を数値的に計算するためのアルゴリズムを提供し、弾性的形状マッチングを可能にすること。

提案手法

• 計量は、スケール不変型 Sobolev $H^1$ 計量の極限として定義され、曲線の長さで正規化され、再パラメトリゼーションおよび平行移動に対して不変である。
• 測地線は、微分同相群が埋め込みに作用する商として形状空間を特定し、古典的多様体からの測地線方程式を等長写像によって移行することで導出される。
• 測地線方程式は、弧長微分 $D_s$、単位接ベクトル $v$、法ベクトル $n$、曲率 $ ilde{ au}$、運動量項を用いて表現される。
• 測地線ベクトル場のフローは、Sobolev 空間 $H^k$ におけるブートストラップ論法により $C^ u$ 内で存在することが示され、滑らかさと最大存在性が保証される。
• 測地線の数値的計算は、パラメトリック形式での測地線方程式を解き、パラメトリゼーション依存性を除去するため水平空間への射影を施すことで行われる。
• Grassmann および Stiefel 多様体との等長写像を用いて、既知の曲率および測地線性質を形状空間に移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形状空間に、測地線が明示的に計算可能なリーマン計量を構築することは可能か？
• RQ2 形状空間（再パラメトリゼーションおよび平行移動による商をとったもの）と、Stiefel や Grassmann 多様体などの古典的多様体との間に等長写像が存在するか？
• RQ3 回転および再パラメトリゼーションによる商をとった閉曲線の空間の断面曲率は何か？
• RQ4 この計量において、二つの閉曲線間の最小測地線を数値的に計算することは可能か？
• RQ5 $H_{1,}$ 計量は、医療画像やオブジェクト認識などの応用分野における弾性的形状マッチングをどのように可能にするか？

主な発見

• 回転および再パラメトリゼーションによる商をとった閉曲線の形状空間は、Grassmann 多様体との等長写像により、正の断面曲率を持つことが示された。
• 古典的多様体との等長写像を用いたパラメトリック形式での明示的測地線が導出され、解析的および数値的計算が可能になった。
• 初期条件が滑らかである場合、測地線方程式は $C^ u$ 内で滑らかかつ大域的に定義され、Sobolev 空間におけるブートストラップにより最大フローの存在が確立された。
• 数値実験により、二つの閉曲線間の最小測地線が成功裏に計算され、計量が弾性的形状マッチングにおける有用性を示した。
• 計量は再パラメトリゼーションおよび平行移動に対して不変であり、水平射影によりパラメトリゼーション不変な測地線が保証された。
• $H_{1,}$ 計量は、スケール不変型 $H^1$ 計量の極限として特徴づけられ、商空間上に明確なリーマン構造を持つことがわかった。