[論文レビュー] A micro Lie theory for state estimation in robotics

Joan Solà, Jérémie Deray+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Robotics and Sensor-Based Localization参考文献 11被引用数 158

ひとこと要約

この論文は、ロボティクス状態推定のためのミニマルで実用的なマイクロ Lie 理論を提案し、直感的な概念、役立つ Jacobians、SLAMと視覚オドメトリで使われる一般的な群のC++テンプレートライブラリを中心に扱います。

ABSTRACT

A Lie group is an old mathematical abstract object dating back to the XIX century, when mathematician Sophus Lie laid the foundations of the theory of continuous transformation groups. As it often happens, its usage has spread over diverse areas of science and technology many years later. In robotics, we are recently experiencing an important trend in its usage, at least in the fields of estimation, and particularly in motion estimation for navigation. Yet for a vast majority of roboticians, Lie groups are highly abstract constructions and therefore difficult to understand and to use. This may be due to the fact that most of the literature on Lie theory is written by and for mathematicians and physicists, who might be more used than us to the deep abstractions this theory deals with. In estimation for robotics it is often not necessary to exploit the full capacity of the theory, and therefore an effort of selection of materials is required. In this paper, we will walk through the most basic principles of the Lie theory, with the aim of conveying clear and useful ideas, and leave a significant corpus of the Lie theory behind. Even with this mutilation, the material included here has proven to be extremely useful in modern estimation algorithms for robotics, especially in the fields of SLAM, visual odometry, and the like. Alongside this micro Lie theory, we provide a chapter with a few application examples, and a vast reference of formulas for the major Lie groups used in robotics, including most jacobian matrices and the way to easily manipulate them. We also present a new C++ template-only library implementing all the functionality described here.

研究の動機と目的

• 推定の精度、一貫性、安定性を向上させるために Lie 群の概念の活用を動機づける。
• 深い代数的前提知識を要せずロボット工学者にも分かりやすい、簡易で教育的なサブセットの Lie 理論を提供する。
• 共通のロボット推定問題に対する実用的なツールと式（ヤコビ行列の計算、指数/対数写像）を提供する。
• EKF、非線形最適化、SLAMタスクへの適用性を示す。
• 実践への適用を促進するオープンソースの実装フレームワークを提供する。

提案手法

• ロボティクスの文脈で、完全な代数的深さを伴わない基本的な Lie 群と Lie 代数の概念を導入する。
• 微分が重視される計算法を、状態の増分のための指数・対数写像の役割とともに説明する。
• SO(2)、SO(3)、SE(2)、SE(3)とそれらの接空間と随伴写像の具体例を示す。
• Lie 代数のベクトルと群要素を移動させる便利な hat/vee および Exp/Log 演算子を定義する。
• 最適推定器にとって不可欠な解析的ヤコビ行列を導出するためのガイドラインを提供する。
• 主要な群とヤコビ関数のサポートを実装する C++ ヘッダーオンリーライブラリ（manif）を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロボット推定タスクにおける不確実性の管理を支援するために、どのように最小限の Lie 理論を定式化できるか。
• RQ2 実用的なツール（ヤコビ行列の導出、写像、テンプレート）は、一般的な運動群上で安定かつ効率的な推定を可能にするか。
• RQ3 マイクロ Lie 理論をロボット工学の EKF、最適化、SLAM パイプラインに適用するにはどうすればよいか。
• RQ4 実務者にとって最も有用な、Lie 群とその代数およびデカルト空間間の具体的な表現と変換は何か。

主な発見

• ロボティクス向けに特化した Lie 理論のコンパクトな導入は、厳密でありながら理解しやすいツールを用いて推定を支援する。
• 本論文はヤコビ行列の計算を強調し、表現間の遷移を可能にする実用的な写像（Exp/Log、hat/vee）を提供する。
• 典型的なロボティクス群（SO(2)、SO(3)、SE(2)、SE(3)）と、それらの接空間、随伴、群作用を取り扱う。
• アプローチは、線形代数の扱いやすさのために、接空間での不確実性を実数ベクトル空間で表現することを促進する。
• 議論された群と解析的ヤコビ行列を実装するオープンソースの C++ ヘッダーオンリーライブラリ、manif、を公開する。
• LT の概念を、構造化された教学的枠組みの中で EKF、視覚オドメトリ、SLAM に適用することをサポートする。