[論文レビュー] A "milder" version of Calder\'on's inverse problem for anisotropic conductivities and partial data

El Maati Ouhabaz|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、部分的ディリクレ・トゥ・ノイマン（D-t-N）写像を用いた異方的楕円型作用素のユニタリ同値性に関するスペクトル理論的証明を提示する。もし部分的D-t-N写像が蓄積点をもつ集合上で一致するならば、ロビン、混合、またはディリクレ境界条件の下で、作用素はユニタリ同値である。主な結果は、従来の固有値の連続性や作用素拡張理論に依存せず、代わりに固有値の単調性とD-t-N写像の正則性を用いることで、既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

Given a general symmetric elliptic operator $$ L\_{a} := \sum\_{k,,j=1}^d \p\_k (a\_{kj} \p\_j) + \sum\_{k=1}^d a\_k \p\_k - \p\_k(\overline{a\_k} .) + a\_0$$we define the associated Dirichlet-to-Neumann (D-t-N) operator with partial data, i.e., data supported in a part of the boundary. We prove positivity, $L^p$-estimates and domination properties for the semigroup associated with this D-t-N operator. Given $L\_a $ and $L\_b$ of the previous type with bounded measurable coefficients $a = \{a\_{kj}, \ a\_k, a\_0 \}$ and $b = \{b\_{kj}, \ b\_k, b\_0 \}$, we prove that if their partial D-t-N operators (with $a\_0$ and $b\_0$ replaced by $a\_0 -\la$ and $b\_0 -\la$) coincide for all $\la$, then the operators $L\_a$ and $L\_b$, endowed with Dirichlet, mixed or Robin boundary conditions are unitary equivalent. In the case of the Dirichlet boundary conditions, this result was proved recently by Behrndt and Rohleder \cite{BR12} for Lipschitz continuous coefficients. We provide a different proof which works for bounded measurable coefficients and other boundary conditions.

研究の動機と目的

• 部分境界測定を用いた異方的楕円型作用素のユニタリ同値性をスペクトル理論によって確立すること。
• ベルンハルトとローレーダーのD-t-N写像の一意性に関する結果に対する代替的証明を提示し、ロビン、混合、ディリクレ境界条件に適用可能であること。
• 特に次元 d = 2 の場合に、係数の正則性仮定を弱める。
• ロビンパラメータに関して、D-t-N作用素およびロビン正則化楕円型作用素の固有値が厳密に単調であることを示すこと。

提案手法

• 部分集合 Γ1 ⊂ ∂Ω における弱解を用いて、楕円方程式 La(λ)u = 0 の部分的ディリクレ・トゥ・ノイマン（D-t-N）作用素を定義する。
• C ∖ σ(LD_a) 上で D-t-N 写像 ⟨NΓ1,a(λ)ϕ, ψ⟩ の正則性を用い、実数の λ におけるD-t-N写像の等しさを複素平面全体に拡張する。
• 最小最大原理と固有値の連続性を用いて、ロビンパラメータ μ に関する固有値 λμ_a,k の厳密な単調性を確立する。
• D-t-N写像の等しさが、ロビン正則化作用素 Lμ_a と Lμ_b のスペクトルと重複度が同一であることを示す。
• μ → −∞ の極限を用いてディリクレの場合を回復し、LD_a と LD_b の固有値が同じ重複度で一致することを示す。
• Lμ_a と Lμ_b の固有基底間のユニタリ写像を構成し、すべての境界条件においてユニタリ同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像の等しさが、対応する楕円型作用素のユニタリ同値性を示すための条件は何か？
• RQ2 係数のリプシッツ連続性を仮定しないで、カルデロンの逆問題における部分的データの一意性を証明できるか？
• RQ3 ロビン正則化作用素 Lμ_a のスペクトル的挙動はパラメータ μ にどのように依存するか？
• RQ4 D-t-N写像の正則性が、実数から複素数への等しさの拡張に果たす役割は何か？
• RQ5 異なる境界条件（ロビン、混合、ディリクレ）を持つ作用素が、同一のD-t-Nデータからユニタリ同値性を示せるか？

主な発見

• 部分的D-t-N写像 NΓ1,a(λ) と NΓ1,b(λ) が、ρ(LD_a) ∩ ρ(LD_b) 内に蓄積点をもつ集合上ですべての λ に対して一致するならば、ロビン、混合、またはディリクレ境界条件の下で La と Lb はユニタリ同値である。
• ロビン正則化作用素 Lμ_a と Lμ_b の固有値は μ に関して厳密に単調減少であり、スペクトル対応の単射性を保証する。
• すべての μ ∈ ℝ に対して、Lμ_a と Lμ_b のスペクトルと重複度が同一である。これはD-t-N写像の等しさと固有値の単調性によって確立される。
• μ → −∞ の極限によりディリクルの場合が回復され、λD_a,k = λD_b,k が同じ重複度で一致することが示され、LD_a と LD_b のユニタリ同値性が示される。
• λ ∉ σ(LD_a) = σ(LD_b) のとき、(λ − Lμ_a) の核のトレースが (λ − Lμ_b) の核のトレースと等しいことが確認され、境界上のスペクトル一致が裏付けられる。
• 主な証明では作用素拡張理論や固有値の連続性を用いず、代わりにスペクトル理論と正則関数計算に依拠している。