[論文レビュー] A Milstein Scheme for SPDEs

Arnulf Jentzen, Michael Roeckner|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、トレースクラスノイズを伴う半線形SPDEのクラスに対して成り立つ可換性条件を活用して、確率的偏微分方程式（SPDE）のためのミルシュタイン数値スキームの無限次元版を導入する。この手法により、従来のアルゴリズムと比較して計算コストを低減し、使用する確率変数の数も削減できる。数値実験を通じて、確率的熱方程式および反応拡散方程式のシミュレーションにおいて、その有効性が示された。

ABSTRACT

This article studies an infinite dimensional analog of Milstein's scheme for finite dimensional stochastic ordinary differential equations (SODEs). The Milstein scheme is known to be impressively efficient for SODEs which fulfill a certain commutativity type condition. This article introduces the infinite dimensional analog of this commutativity type condition and observes that a certain class of semilinear stochastic partial differential equation (SPDEs) with multiplicative trace class noise naturally fulfills the resulting infinite dimensional commutativity condition. In particular, a suitable infinite dimensional analog of Milstein's algorithm can be simulated efficiently for such SPDEs and requires less computational operations and random variables than previously considered algorithms for simulating such SPDEs. The analysis is supported by numerical results for a stochastic heat equation and stochastic reaction diffusion equations showing signifficant computational savings.

研究の動機と目的

• ミルシュタインの有限次元スキームを無限次元SPDEに拡張すること。
• 高次弱収束を保証する無限次元版の可換性条件を同定すること。
• 乗法的トレースクラスノイズを伴うSPDEのシミュレーションのための数値的に効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 実際のSPDEシミュレーションにおいて、既存手法と比較して顕著な計算コストの削減を実現すること。

提案手法

• 有限次元での可換性条件をヒルベルト空間値SDEに拡張することで、ミルシュタインスキームの無限次元版を導出する。
• 無限次元設定における可換性条件を定義し、繰り返し確率積分を必要とせずに強い収束を達成できることを保証する。
• トレースクラスノイズによって駆動される半線形SPDEにこのスキームを適用し、提案された可換性条件を自然に満たす。
• 無限次元状態空間を扱うために、スペクトルコロケーション法またはガラーキン近似を用いてアルゴリズムを実装する。
• 確率的熱方程式および確率的反応拡散方程式に対して、この手法の数値的妥当性を検証する。
• 標準的なオイラー＝マルヤムのスキームおよび他の既存スキームと比較して、処理演算数および使用する確率変数の数の観点から計算効率を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミルシュタインの高次スキームは、乗法的ノイズを伴う無限次元SPDEに一般化可能か？
• RQ2 有限次元SODEで観察された効率的向上を保証する無限次元的条件は何か？
• RQ3 トレースクラスノイズを伴うSPDEは、この一般化された可換性条件を満たすか？
• RQ4 提案されたスキームは、既存のSPDE数値手法と比較して計算コストがどの程度低減されるか？
• RQ5 代表的なSPDEモデルにおいて、実際のシミュレーションでどの程度の計算コスト削減が達成可能か？

主な発見

• 提案された無限次元ミルシュタインスキームは、トレースクラスノイズを伴うSPDEに対して、標準的なオイラースキームよりも高い弱収束次数を達成する。
• 可換性条件は、確率的熱方程式や反応拡散方程式を含む広範な半線形SPDEのクラスにおいて自然に満たされる。
• 従来のアルゴリズムと比較して、使用する確率変数の数と計算処理の演算数が削減され、顕著な効率的向上が得られる。
• 数値実験により理論的予測が確認され、確率的熱方程式および反応拡散系の両方において、計算コストの明確な低減が観察された。
• 繰り返し確率積分を高価に必要としないまま、SPDEの安定的かつ高精度なシミュレーションが可能になった。