[論文レビュー] A mixed multifractal formalism for finitely many non Gibbs Frostman-like measures

Mohamed Menceur, Anouar Ben Mabrouk|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、標準的なギブス測度の仮定に代えて制御関数を導入することにより、有限個の非ギブス的・フロストマンに類似した測度に対する一般化された混合多分岐形式を提案する。これにより、より広い条件下でも多分岐形式が成り立つようになる。主な貢献は、従来のギブス的測度が適用できない状況でも成立する多分岐次元スペクトルを導出可能にする、新しい大偏差定理の確立である。

ABSTRACT

The multifractal formalism for measures hold whenever the existence of corresponding Gibbs-like measures supported on the singularities sets holds. In the present work we tried to relax such a hypothesis and introduce a more general framework of mixed (and thus single) multifractal analysis where the measures constructed on the singularities sets are not Gibbs but controlled by an extra-function allowing the multifractal formalism to hold. We fall on the classical case by a particular choice of such a function.

研究の動機と目的

• 多分岐形式におけるギブス測度仮定を緩和すること。これは、従来、レベル集合上にギブス的測度の存在を要請していた。
• Singularity集合上の測度がギブス的でないが、補助関数によって制御される混合多分岐フレームワークを構築すること。
• 標準的なギブス条件が成立しない場合でも成り立つ多分岐形式を確立すること。これには、ハウスドルフ測度およびパッキング測度のφ制御一般化を導入する。
• ベクトル値測度とパrameter化された前測度構成を用いて、既存の多分岐次元定義（ハウスドルフ、パッキング、対数インデックス）を一般化すること。
• ギブス測度が存在しない状況においても形式の有効性を支持する、新しい混合大偏差定理を証明すること。

提案手法

• Singularity集合上の測度のスケーリング挙動を制御する関数φを用いて、φ-混合多分岐前測度を定義し、標準的なハウスドルフ測度およびパッキング測度を一般化する。
• φ-混合前測度が無限大からゼロに遷移する臨界指数tにより一般化次元を定義し、古典的多分岐形式を拡張する。
• レベル集合に関連する経験的測度の漸近的挙動を分析するために、ベクトル値大偏差定理（定理5.2）を適用する。
• 自由エネルギー関数C(t)と測度モーメントのスケーリング挙動との関係を、Legendre変換および凸解析を用いて導出する。
• Borel-Cantelli補題および指数的推定を用いて、正規化された経験的測度が自由エネルギー関数C(t)のLegendre変換にほとんど確実に収束することを証明する。
• Besicovitch被覆定理および測度論的被覆議論を用いて、次元推定の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギブス仮定をより一般化された制御関数に置き換えることで、ギブス的でない測度に対しても多分岐形式を拡張できるか？
• RQ2 非ギブス的測度の局所的スケーリング挙動を反映する一般化されたハウスドルフ測度およびパッキング測度は、どのように構成できるか？
• RQ3 制御関数φに課すべき条件は何か？ これにより、混合状況下での多分岐形式の有効性が保証される。
• RQ4 ギブス性質が欠如する状況において、ベクトル値経験的測度に対して大偏差原理を確立できるか？
• RQ5 この拡張された枠組みにおいて、一般化された次元スペクトルと自由エネルギー関数のLegendre変換との関係は何か？

主な発見

• Singularity集合上の測度が関数φによって制御される有限個の非ギブス的・フロストマンに類似した測度に対して、多分岐形式が成り立つ。これは古典的状況を一般化する。
• φ-混合多分岐前測度$\bar{\frak{H}}_{\nu}^{q,t}$および$\bar{\frak{P}}_{\nu}^{q,t}$は、それぞれ被覆およびパッキングに関する下界および上界の上限を用いて定義され、スケーリングはφによって制御される。
• 一般化された次元関数$\text{dim}_{\nu}^{q}(E)$、$\text{Dim}_{\nu}^{q}(E)$、および$\triangle_{\nu}^{q}(E)$は、標準的なカットオフ性質を満たすことが示された。すなわち、臨界次元未満では測度が無限大、臨界次元を超えるとゼロとなる。
• 新しい大偏差定理（定理5.2）が証明され、正規化された経験的測度が自由エネルギー関数C(t)のLegendre変換にほとんど確実に収束することを示した。
• summability条件$e^{-\nu a_n}$の下で、結果$\nabla_{-}C(0) \triangleq \text{ess}\text{inf}\bigl(\frac{W_n}{a_n}\bigr) \text{ a.s.}$および$\nabla_{+}C(0) \triangleq \text{ess}\text{sup}\bigl(\frac{W_n}{a_n}\bigr) \text{ a.s.}$が確立され、測度の集中が保証される。
• 制御関数φを恒等関数に選ぶと、古典的多分岐形式が特別な場合として回復され、従来の理論と整合性が確認される。