[論文レビュー] A model for one-dimensional morphoelasticity and its application to fibroblast-populated collagen lattices

Shakti N. Menon, Cameron L. Hall+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Cellular Mechanics and Interactions参考文献 143被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、変形勾配の乗法的分解と有効ひずみの時間発展方程式を用いて、線維芽細胞を含むコラーゲンラティス（FPCL）における組織のリモデリングを捉える1次元の形態弾性モデルを提案する。このモデルは、粘弾性と塑性的リモデリングを組み合わせており、リモデリングが中止された際に持続的収縮に続く急激な再拡張を、実験的観察と一致させる。

ABSTRACT

The mechanical behaviour of solid biological tissues has long been described using models based on classical continuum mechanics. However, the classical continuum theories of elasticity and viscoelasticity cannot easily capture the continual remodelling and associated structural changes of biological tissues. Furthermore, models drawn from plasticity theory are difficult to apply and interpret in this context, where there is no equivalent of a yield stress or flow rule. In this work, we describe a novel one-dimensional mathematical model of tissue remodelling based on the multiplicative decomposition of the deformation gradient. We express the mechanical effects of remodelling as an evolution equation for the 'effective strain', a measure of the difference between the current state and a hypothetical mechanically-relaxed state of the tissue. This morphoelastic model combines the simplicity and interpretability of classical viscoelastic models with the versatility of plasticity theory. A novel feature of our model is that while most models describe growth as a continuous quantity, here we begin with discrete cells and develop a continuum representation of lattice remodelling based on an appropriate limit of the behaviour of discrete cells. To demonstrate the utility of our approach, we use this framework to capture qualitative aspects of the continual remodelling observed in fibroblast-populated collagen lattices, in particular its contraction and its subsequent sudden re-expansion when remodelling is interrupted.

研究の動機と目的

• 生物学的組織における継続的な構造的変化を考慮する数学的に取り扱いやすい組織リモデリングモデルの構築を目的とする。
• 古典的弾性論および粘弾性論が能動的リモデリング過程を捉えることの限界を克服することを目的とする。
• FPCLにおける離散的細胞行動と連続体レベルの力学的応答の間のギャップを埋めることを目的とする。
• リモデリングが中止された際に観察される持続的収縮と急激な再拡張といった主要な実験的現象を再現することを目的とする。
• 成長、応力、ひずみの時間発展を1つの整合的で物理的に解釈可能な枠組みで統合するモデルを提供することを目的とする。

提案手法

• 変形勾配を弾性成分とリモデリング（成長に類似した）成分に乗法的分解する。
• 有効ひずみ eE を、仮想的な機械的平衡状態からのずれの尺度として定義する。
• リモデリング速度 g(x,t) の材料微分を用いて、eE の時間発展方程式を導出し、源項を含む双曲型の移流方程式を得る。
• Euler座標系におけるひずみを用いた線形な物性則 σ = E(1 − α⁻¹) を適用し、応力と有効ひずみの直接的な関係を確立する。
• 時間依存的応力緩和を可能にするために、Kelvin–Voigt 粘弾性法則とモデルを統合する。
• 連鎖則および速度勾配の関係を用いて、Lagrangian と Eulerian 座標系の間の式変換を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続体モデルは、線維芽細胞を含むコラーゲンラティスの動的リモデリングをどのように捉えることができるか？
• RQ2 有効ひずみは、リラックス状態からの機械的ずれをどのように定量化するか？
• RQ3 リモデリングが中止された場合、モデルは実験的に観察された収縮に続く再拡張をどのように再現するか？
• RQ4 有効ひずみの時間発展方程式を1つだけ用いる形態弾性モデルは、FPCLで観察される複雑な力学的挙動を再現可能か？
• RQ5 ひずみ尺度の選択（Euler座標系 vs. Lagrangian座標系）は、モデルの予測能力にどのように影響するか？

主な発見

• モデルは、実験で観察された持続的収縮を、連続的なリモデリングによって正確に再現した。
• リモデリングが中止された場合、モデルは急激な再拡張を予測し、実験的観察と一致した。
• 有効ひずみの時間発展は、双曲型偏微分方程式 ∂eE/∂t + ∂(eE v)/∂x = ∂v/∂x − g(x,t) に従い、ひずみの移流と成長に起因する変化を捉える。
• Euler座標系におけるひずみ（eE = 1 − α⁻¹）を用いることで、線形な応力–ひずみ関係 σ = E eE を実現し、物性則の簡素化と物理的整合性の両方を維持した。
• Lagrangian と Eulerian フレームワーク間の変換が厳密に導出され、両座標系での一貫した定式化が可能になった。
• モデルは、適切な連続体極限をとることで、離散的細胞活動に起因するリモデリングを、連続的プロセスとして扱えることを示した。