[論文レビュー] A model for the quasi-static growth of a brittle fracture: existence and approximation results

Gianni Dal Maso, Rodica Toader|ArXiv.org|Jan 10, 2001

Contact Mechanics and Variational Inequalities被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2次元線形弾性材料における脆い破壊の準静的・不可逆的成長を、グリフィスのエネルギー基準に基づいて厳密な数学的定式化する。各ステップで全エネルギーを最小化する時間分割スキームを用い、新規の亀裂がすべての既存の亀裂を含むことを制約として課すことにより、著者らは全エネルギーが時間に関して絶対連続であるが、体積エネルギーおよび表面エネルギーにはジャンプ不連続性が生じる準静的変化の存在を証明した。

ABSTRACT

We give a precise mathematical formulation of a variational model for the irreversible quasi-static evolution of a brittle fracture proposed by G.A. Francfort and J.-J. Marigo, and based on Griffith's theory of crack growth. In the two-dimensional case we prove an existence result for the quasi-static evolution and show that the total energy is an absolutely continuous function of time, although we can not exclude that the bulk energy and the surface energy may present some jump discontinuities. This existence result is proved by a time discretization process, where at each step a global energy minimization is performed, with the constraint that the new crack contains all cracks formed at the previous time steps. This procedure provides an effective way to approximate the continuous time evolution.

研究の動機と目的

• フランソワ＝マラゴの変分的モデルに基づき、準静的脆い破壊成長の明確な数学的定式化を提供すること。
• 不可逆的亀裂成長下で2次元における脆い破壊の準静的進化の存在を確立すること。
• 各ステップでエネルギー最小化を保証するとともに、亀裂進化の履歴を保存する時間分割法を開発すること。
• 全エネルギーが時間に関して絶対連続であることを証明すること、すなわち体積エネルギーまたは表面エネルギーにジャンプが生じる場合でも成立すること。
• 収束の証明を保証するための技術的必要性として、連結した亀裂（連続体）を数学的簡略化として用いる正当性を示すこと。

提案手法

• 全エネルギーを、変位勾配のディリクレ積分による弾性エネルギーと、亀裂集合のハウスドルフ測度による表面エネルギーの和として定式化し、固定されたきょうどきんパラメータを用いる。
• 全亀裂が以前のすべての亀裂を含むような、コンパクトかつ連結な亀裂のうちで、各時刻でエネルギーを全空間的に最小化する。これにより、不可逆性が保証される。
• 境界データが $ H^1(Ω) $ 内で絶対連続である時間分割スキームを用い、外部荷重の滑らかな時間的変化を保証する。
• 非滑らかさを有する亀裂と最小化問題を取り扱うために、デンイ・リオンズ空間および有界変動関数の性質を適用する。
• 亀裂先端部の小さな球体内で局所的エネルギー比較技術を用い、エネルギー最小性の必要条件を導出する。
• 局所的領域におけるエネルギーの亀裂長に関する微分可能性を確立し、応力拡大係数と亀裂速度を含む条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フランソワ＝マラゴの変分的モデルに基づく、数学的に明確に定義された脆い破壊の準静的進化は存在するか？
• RQ2 履歴依存のエネルギー最小化を伴う時間分割法は、時間的に連続な亀裂進化をもたらすか？
• RQ3 全エネルギーは時間に関して絶対連続であるが、個々のエネルギー成分（体積エネルギーまたは表面エネルギー）にジャンプが生じる場合でも成立するか？
• RQ4 亀裂成長がグリフィスのエネルギー基準と整合するための条件は何か？
• RQ5 亀裂先端部の局所的挙動は、エネルギー収支および応力拡大係数とどのように関係するか？

主な発見

• 2次元アンチプレーンシア問題における線形弾性・等方的材料に対して、脆い破壊の準静的進化の存在が証明された。
• 全エネルギーが時間に関して絶対連続であることが示されたが、体積エネルギーおよび表面エネルギー成分にはジャンプ不連続性が生じる可能性がある。
• 各ステップで全エネルギー最小化を保証する時間分割法により、連続的進化への収束近似が得られた。
• エネルギー最小性の必要条件が亀裂先端部で導出され、応力拡大係数と亀裂速度を含む式 $ \bigl\{1 - \kappa^2\bigr\} \dot{\sigma} \geq 0 $ として表現された。
• モデルは、破壊成長が不可逆的であり、グリフィス基準が要請するエネルギー放出率と整合することを保証する。
• 機械的動機付けに乏しいものの、存在証明における収束を保証する技術的必要性として、連結した亀裂（連続体）の使用が正当化される。