[論文レビュー] A model-free version of the fundamental theorem of asset pricing and the super-replication theorem

Beatrice Acciaio, Mathias Beiglböck+2 more|London School of Economics and Political Science Research Online (London School of Economics and Political Science)|Jan 23, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、リスク資産とそのオプションを対象とする離散時間・有限期間設定において、モデルフリー版の資産価格理論の基本定理およびスーパーリプレリケーション定理を確立する。リスク資産のオプションの支払額が超線形的に増加する（例えばパワーオプションのような）取引可能なオプションの存在を仮定することで、モデルに依存しないアービタージュの不在が、観察されたオプション価格と整合するマルティングルール測度の存在と同値であることを証明し、このような測度の下で上界となるモデルフリー価格に等しい最小スーパーリプレリケーションコストが得られることを示す。

ABSTRACT

We propose a Fundamental Theorem of Asset Pricing and a Super-Replication Theorem in a model-independent framework. We prove these theorems in the setting of finite, discrete time and a market consisting of a risky asset S as well as options written on this risky asset. As a technical condition, we assume the existence of a traded option with a super-linearly growing payoff-function, e.g., a power option. This condition is not needed when sufficiently many vanilla options maturing at the horizon T are traded in the market.

研究の動機と目的

• 基礎的資産価格理論のモデルに依存しない版を、基礎となる資産の特定の確率的モデルを仮定せずに確立すること。
• 弱いかつモデル依存のアービタージュ問題を解消するため、取引可能なオプションの超線形的支払額の存在という十分条件を導入すること。
• モデルフリーのスーパーリプレリケーション定理を証明し、任意のデリバティブをスーパーリプレリケートする最小コストが、すべての整合的マルティングルール測度の下での期待支払額の上界に等しいことを示すこと。
• ロバストヘッジ戦略とマルティングルール不等式の関係を確立し、既知の不等式（例えばドーブのL¹不等式）が経路に沿ったスーパーリプレリケーション戦略から導出可能であることを示すこと。

提案手法

• フレームワークは、価格が既知のオプションにおける静的ポジションと、基礎となるリスク資産Sにおける動的かつ自己財務調整可能なポジションを組み合わせた半静的取引戦略を用いる。
• モデルに依存しないアービタージュは、すべての可能な経路において初期コストがゼロで、終値が正である半静的戦略として定義される。
• 主な技術的条件は、線形より速く増加する支払額関数（例えば (x−k)₊²）を持つ取引可能なオプションの存在であり、これにより整合的マルティングルール測度の存在が保証される。
• 本稿は、観察されたオプション価格と整合し、Sがマルティングルールである確率測度の集合を用いる。
• オプションΦの上界モデルフリー価格が、半静的戦略による最小スーパーリプレリケーションコストに等しいことを証明する。
• 証明技法は凸解析と価格設定とヘッジ戦略の双対性に依拠し、スコロホド埋め込みおよびロバストヘッジ戦略に関する先行研究の結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデルに依存しないアービタージュの不在が、モデルフリー設定において整合的マルティングルール測度の存在を示唆するのはどのような条件下か？
• RQ2 経路に依存するデリバティブをスーパーリプレリケートする最小コストは、すべての整合的マルティングルール測度の下での期待支払額の上界として特徴付けられるか？
• RQ3 1つの超線形的支払額を持つオプションの存在が、モデル仮定なしに資産価格理論の基本定理の有効性を保証する仕組みは何か？
• RQ4 ドーブのL¹不等式などの古典的マルティングルール不等式は、モデルフリー枠組みにおいて経路に沿ったスーパーリプレリケーション戦略から導出可能か？
• RQ5 モデル仮定なしの状況において、上界モデルフリー価格と最小スーパーリプレリケーションコストの正確な関係は何か？

主な発見

• 超線形的に増加する支払額（例えばパワーオプション）を持つ取引可能なオプションの存在が、モデルに依存しないアービタージュの不在と整合的マルティングルール測度の存在との同値性を保証する。
• 任意のデリバティブΦの最小スーパーリプレリケーションコストは、すべての整合的マルティングルール測度の下での期待支払額の上界として定義される上界モデルフリー価格に等しい。
• 上界モデルフリー価格は、常に整合的マルティングルール測度の集合上での最大値として達成される。
• ドーブのL¹不等式に関しては、経路に沿ったスーパーリプレリケーション戦略を明示的に構築できる：supₜ Sₜ ≤ (e/(e−1))(Sₜ log Sₜ + 1) − (log(̄Sₜ) ⋆ S)ₜ であり、期待値を取ることで不等式が導かれる。
• この結果は他のマルティングルール不等式へ一般化可能であり、確率的モデルを仮定せずとも、ロバストヘッジ戦略からこれらの不等式が導出可能であることを示している。
• このフレームワークは、無限に多くの経路に依存するオプションを扱えるほか、マーケットにコール・プット・オプションが存在する場合でも、それらが十分に多く存在する限り、その設定へ拡張可能である。