[論文レビュー] A model problem for ultrafunctions

Vieri Benci, Lorenzo Luperi Baglini|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2012

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、点源における発散のために古典解析では適切でない物理的問題を解くために、超関数を用いた非アーベル数体系を導入する。エネルギー汎関数 $ E(u,q) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla u|^2 dx + u(q) $ を最小化する問題に対して、関数を非アーベル数体に拡張し、$ \Lambda $-極限を用いることで、超関数空間内に最小化子 $ (u_{\overline{q}}, \overline{q}) $ が存在することを証明する。ここで $ \overline{q} \in \Omega^* $ であり、無限大および無限小の数を用いることで特異性の問題が解消される。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to show that Non-Archimedean Mathematics (NAM), namely mathematics which uses infinite and infinitesimal numbers, is useful to model some Physical problems which cannot be described by the usual mathematics. The problem which we will consider here is the minimization of the functional E(u,q)=1/2\int_{Omega}| abla u(x)|^{2}dx+u(q). If Omega is a subset of R^{N} is a bounded open set and u is a C^{2} function with condition u=0 on the boundary of Omega, this problem has no solution since inf E(u,q)=-\infty. On the contrary, as we will show, this problem is well posed in a suitable non-Archimedean frame. More precisely, we apply thegeneral ideas of NAM and some of the techniques of Non Standard Analysis to a new notion of generalized functions, called ultrafunctions, which are a particular class of functions based on a Non-Archimedean field. In this class of functions, the above problem is well posed and it has a solution.

研究の動機と目的

• 非アーベル数学（NAM）が、古典解析では適切でない物理的問題をモデル化するための有効な枠組みを提供することを示すこと。
• 関数 $ u $ が点 $ q $ に特異点を持つ場合に発散するエネルギー汎関数 $ E(u,q) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla u|^2 dx + u(q) $ の問題に対処すること。
• エネルギー汎関数が、非アーベル体に基づく新しい一般化関数のクラス、すなわち超関数空間においても明確に定義された解を持つことを示すこと。
• 重力と膜の張力の下で点質量が停止する平衡点 $ q_0 $ が存在し、境界から離れて $ \Omega^* $ の内部に位置することを確立すること。

提案手法

• 著者らは、標準的な $ C^2_0 $ 関数から超関数を構成するために $ \Lambda $-極限を用い、非アーベル体 $ \mathbb{R}^* \supset \mathbb{R} $ に拡張する。
• 超関数は、関数的性質（例えば $ \int u(x)\delta_q(x)dx = u(q) $）を保ちつつ、特異点でも点評価が可能になるように定義される。
• 問題は、エネルギー汎関数 $ E(u,q) $ が無限大の値を取る可能性はあっても、依然として定義可能な超関数空間 $ \mathcal{V}^* $ に再定式化される。
• 有限次元近似として、フェードォ＝ガレルキン法を用いる：各 $ \lambda \in \mathcal{F} $ に対して、有限次元部分空間 $ (V_0^2(\Omega))_\lambda $ で問題を解く。
• 解 $ u_{q,\lambda} $ が $ q $ に関して連続に依存することを示し、これによりエネルギー汎関数 $ F_\lambda(q) $ がコンパクト集合 $ \overline{\Omega} $ 上で連続であることが保証される。
• コンパクト性により最小化子 $ q_\lambda $ が得られ、その後、リーマンの原理を用いて $ \overline{q} = \lim_{\lambda \uparrow \mathbb{U}} q_\lambda $ の極限をとることで、超関数解が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル数学は、特異性によって古典解析で適切でない物理的問題を解消できるか？
• RQ2 関数 $ u $ が点源 $ q $ を持つ場合、エネルギー汎関数 $ E(u,q) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla u|^2 dx + u(q) $ は最小化子を持つだろうか？
• RQ3 膜上の点質量の平衡位置 $ q_0 $ は、境界を避けて $ \Omega^* $ の内部に位置するだろうか？
• RQ4 超関数はディラックのデルタを表現でき、特異点における一般化関数の点評価を可能にするだろうか？

主な発見

• 無限大および無限小の数を用いることで、古典解析では発散するが、超関数空間内ではエネルギー汎関数 $ E(u,q) $ が明確に定義可能である。
• 最小化子 $ (u_{\overline{q}}, \overline{q}) $ が $ \overline{\Omega}^* $ 内に存在し、特に $ \overline{q} \in \Omega^* $ であるため、非アーベル的意味で平衡点が定義域の内部に厳密に位置することが保証される。
• すべての $ q \in \partial\Omega^* $ に対して、ディラック超関数 $ \delta_q = 0 $ であるため、$ u_q = 0 $ かつ $ E(u_q, q) = 0 $ となるが、$ q \in \Omega^* $ の場合には $ E(u_q, q) < 0 $ となるため、最小化子は境界上に存在しないことが保証される。
• 有限次元近似において、解 $ u_{q,\lambda} $ は $ q $ に関して連続に依存するため、各 $ \lambda $ に対して最小化子 $ q_\lambda $ の存在が保証される。
• $ \overline{q} = \lim_{\lambda \uparrow \mathbb{U}} q_\lambda $ の極限が存在し、リーマンの原理により超関数空間内での最小化条件を満たすことが示された。