[論文レビュー] A Model Structure on the Category of Topological Categories

Ilias Amrani|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、すべての対象がファイブレーション的である小領域の位相的圏（$Å_{Å}$）上の cofibrantly generated Quillen モデル構造を構成する。これは、$(∞,1)$-圏上の Joyal モデル構造および単体的圏上の Bergner モデル構造と Quillen 同値であり、代数的 K-理論への応用を含む、豊富な圏のホモトピー的枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this article, we construct a cofibrantly generated Quillen model structure on the category of small topological categories $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$. It is Quillen equivalent to the Joyal model structure of $(\infty,1)$-categories and the Bergner model structure on $\mathbf{Cat}_{\mathbf{sSet}}$.

研究の動機と目的

• 小領域の位相的圏（$\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$）上の cofibrantly generated Quillen モデル構造を確立すること。
• $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$ のすべての対象がファイブレーション的であることを保証し、ホモトピー的構成を単純化すること。
• $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$ と $(\infty,1)$-圏上の Joyal モデル構造との間の Quillen 同値性を示すこと。
• より広い圏的文脈における代数的 $\mathcal{K}$-理論を定義するためのホモトピー的枠組みを提供すること。

提案手法

• 随伴によるモデル構造の転送を用い、Lemma 2.1 を適用して $\mathbf{Top}$ から $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$ へのモデル構造の持ち上げを行う。
• 弱同値を $\mathbf{Top}$ 内の写像空間への誘導写像および $\pi_0$-圏への同値性によって定義する。
• ファイブレーションを、写像空間への写像が $\mathbf{Top}$ 内でファイブレーションであり、弱同値に対してホモトピー上昇条件を満たすように定義する。
• 生成係数コフェイブル $|U\partial\Delta^n| \to |U\Delta^n|$ および生成可逆コフェイブル $|U\Lambda^n_i| \to |U\Delta^n|$ と $\{x\} \to |\mathcal{H}|$ を構成する。
• 小さな性質、列点の保存、および押し出しに関する閉包性を用いて、Quillen 随伴定理を適用し、モデル構造の公理を検証する。
• 単体的および位相的ニューロン構成を用いて、位相的圏と単体的集合および Kan 複体との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての対象がファイブレーション的であるような、$\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$ 上に cofibrantly generated Quillen モデル構造を定義できるか？
• RQ2 得られたモデル構造は、$(\infty,1)$-圏上の Joyal モデル構造と Quillen 同値か？
• RQ3 $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$ のモデル構造は、任意の射の集合に対して関手的局所化を許容するか？
• RQ4 位相的圏のホモトピー的性質は、単体的圏および $(\infty,1)$-圏のそれらとどのように関係するか？

主な発見

• $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$ 上に cofibrantly generated Quillen モデル構造が存在し、弱同値は写像空間への弱同値および $\pi_0$-同値性によって定義される。
• $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$ のすべての対象がファイブレーション的であり、ファイブレーション的置換およびホモトピー論の単純化が可能である。
• $\mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$ のモデル構造は、$(\infty,1)$-圏上の Joyal モデル構造と Quillen 同値である。
• このモデル構造は、$\mathbf{Cat}_{\mathbf{sSet}}$ 上の Bergner モデル構造とも Quillen 同値である。
• 任意の $\mathbf{C}$ 内の射の集合 $S$ に対して、関手的局所化 $\mathrm{L}_S\mathbf{C}$ が存在し、ホモトピー的同値を除いて一意である。
• 局所化写像 $\mathbf{C} \to \mathrm{L}_S\mathbf{C}$ はコフェイブルであり、豊富な圏の包含写像である。