[論文レビュー] A Moderate Deviation Principle for 2-D Stochastic Navier-Stokes Equations Driven by Multiplicative Lévy Noises

Zhao Dong, Jie Xiong+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、弱収束法を用いて、乗法的Lévyノイズによって駆動される2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、中程度偏差原理（MDP）を確立する。特定のスケーリング則の下で、解の正規化された偏差が大偏差原理を満たすことを証明し、ジャンプノイズを有するSPDEへのMDP理論を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we establish a moderate deviation principle for two-dimensional stochastic Navier-Stokes equations driven by multiplicative $L\acute{e}vy$ noises. The weak convergence method introduced by Budhiraja, Dupuis and Ganguly in arXiv:1401.73v1 plays a key role.

研究の動機と目的

• 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の解の漸近的挙動を、決定的解からの中程度の偏差の下で調査すること。
• 乗法的Lévyノイズによって駆動される確率的偏微分方程式への中程度偏差原理を拡張すること。ジャンプ不連続性が導入される。
• スケーリング条件 $\varepsilon / a^2(\varepsilon) \to 0$ が成り立つ下で、正規化された偏差過程に対する大偏差原理を確立すること。
• 非ガウス型でジャンプ型のノイズが、確率的摂動を伴う流体力学的モデルの文脈で、どのように作用するかの課題に取り組むこと。

提案手法

• Budhiraja, Dupuis, Gangulyが提唱した弱収束法を用いて、中程度偏差原理を分析する。
• スケーリング $\varepsilon / a^2(\varepsilon) \to 0$ が成り立つ $\varepsilon \to 0$ の下で、偏差過程 $Y^\varepsilon = (u^\varepsilon - u^0)/a(\varepsilon)$ を分析する。
• スコロホド表現定理と緊密性の議論を用いて、正規化された過程の分布の収束を確立する。
• イトの公式を偏差過程に適用し、補正付きポアソン確率測度 $\widetilde{N}^{\epsilon^{-1}}$ を含むエネルギー推定を導出する。
• グロウォールの補題を用いて偏差過程の成長を制御し、与えられたスケーリングの下で確率的にゼロへの収束を証明する。
• 非線形作用素 $B(u,v) = P_H((u\cdot\nabla)v)$ とストークス作用素 $A$ の構造に依存して、非線形項および散逸項を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリング $\varepsilon / a^2(\varepsilon) \to 0$ の下で、乗法的Lévyノイズによって摂動される2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、中程度偏差原理が成立するか？
• RQ2 ジャンプ型Lévyノイズは、SPDEにおける拡散型（ウィーナー）ノイズと比較して、中程度偏差挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 弱収束法は、確率的ナビエ＝ストークス方程式における非ガウス型でジャンプ型の拡散構造に対応して適応可能か？
• RQ4 スケーリング $\varepsilon \to 0$ の下で、正規化された偏差過程 $Y^\varepsilon = (u^\varepsilon - u^0)/a(\varepsilon)$ の極限挙動は何か？
• RQ5 偏差過程が確率的にゼロに収束することは、弱収束の意味でMDPを確立するのに十分か？

主な発見

• 本稿は、スケーリング $\varepsilon / a^2(\varepsilon) \to 0$ が成り立つ $\varepsilon \to 0$ の下で、乗法的Lévyノイズを伴う2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して中程度偏差原理を確立する。
• 与えられたスケーリングの下で、正規化された偏差過程 $Y^\varepsilon = (u^\varepsilon - u^0)/a(\varepsilon)$ が確率的にゼロに収束し、MDPフレームワークの有効性が裏付けられる。
• 証明は弱収束法に依拠しており、エネルギー推定とグロウォールの不等式を用いて、正規化された過程の分布の緊密性を確立する。
• ジャンプ成分は補正付きポアソン確率測度 $\widetilde{N}^{\epsilon^{-1}}$ を通じて分析され、非ガウス型ノイズを扱う上で不可欠である。
• 収束結果は、部分列に沿って $\mathbb{P}^1$-ほとんど確実に成り立ち、偏差過程は $[0,T]$ 上で $L^2$-ノルムにおいて消える。
• キーとなる推定式 $\lim_{\varepsilon \to 0} \left[ \sup_{t \in [0,T]} |\overline{\widetilde{M}^\varepsilon}(t)|^2 + \int_0^T \|\overline{\widetilde{M}^\varepsilon}(s)\|^2 ds \right] = 0$ は、グロウォールの補題と積分可能性の境界を用いて証明される。