[論文レビュー] A modified lookdown construction for the Xi-Fleming-Viot process with mutation and populations with recurrent bottlenecks

Matthias Birkner, Jochen Blath+3 more|ArXiv.org|Aug 4, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 32被引用数 81

ひとこと要約

本稿は、突然変異を伴う $ξ$-Fleming-Viot過程のための修正されたルックダウン構成を導入し、$ξ$-共鳴過程とのパスワイズ双対性を確立し、粒子系の収束を証明する。主な貢献は、交換可能な粒子系を用いた $ξ$-Fleming-Viot過程の明示的かつ厳密な構成と、Hille-Yosidaに基づく代替半群構成であり、DonnellyとKurtzの枠組みを一般の $ξ$-共鳴過程に突然変異と繰り返しの Bottleneck を含めて拡張する。

ABSTRACT

Let $Λ$ be a finite measure on the unit interval. A $Λ$-Fleming-Viot process is a probability measure valued Markov process which is dual to a coalescent with multiple collisions ($Λ$-coalescent) in analogy to the duality known for the classical Fleming Viot process and Kingman's coalescent, where $Λ$ is the Dirac measure in 0. We explicitly construct a dual process of the coalescent with simultaneous multiple collisions ($Ξ$-coalescent) with mutation, the $Ξ$-Fleming-Viot process with mutation, and provide a representation based on the empirical measure of an exchangeable particle system along the lines of Donnelly and Kurtz (1999). We establish pathwise convergence of the approximating systems to the limiting $Ξ$-Fleming-Viot process with mutation. An alternative construction of the semigroup based on the Hille-Yosida theorem is provided and various types of duality of the processes are discussed. In the last part of the paper a population is considered which undergoes recurrent bottlenecks. In this scenario, non-trivial $Ξ$-Fleming-Viot processes naturally arise as limiting models.

研究の動機と目的

• 突然変異を伴う $ξ$-共鳴過程（複数同時合体を許容）と双対である $ξ$-Fleming-Viot過程に、Donnelly-Kurtz のルックダウン構成を一般化すること。
• 交換可能な粒子系の経験的測度を用いた $ξ$-Fleming-Viot過程のパスワイズ構成を提供すること。
• 近似粒子系が制限過程 $ξ$-Fleming-Viot過程に収束することを確立すること。
• Hille-Yosida定理を用いた代替半群構成を開発し、過程の生成作用素を導出すること。
• 繰り返しの Bottleneck を経験する集団において、非自明な $ξ$-Fleming-Viot過程がどのように自然に出現するかを分析すること。

提案手法

• 各個体にレベルを割り当て、$ξ$-測度に基づく親選択によりタイプを継承する交換可能な粒子系を用いて、修正されたルックダウン過程を構成する。
• 各 $\mathbf{k}$-再生イベントのためのレート関数 $r_N(\mathbf{k})$ を定義し、サイズ $k_1,\dots,k_m$ の $m$ 群が同時にタイプを更新するように定義する。
• 粒子系の経験的測度が、分布収束および部分列に沿ってほとんど確実収束するように、制限過程 $ξ$-Fleming-Viot過程にパスワイズ収束することを証明する。
• 前向き過程と祖先過程をカップリングすることで、$ξ$-Fleming-Viot過程と $ξ$-共鳴過程との間でパスワイズ双対性を確立する。
• Hille-Yosida定理を用いて $ξ$-Fleming-Viot過程の半群を構成し、テスト関数との積分によりその生成作用素を導出する。
• パrameter $\theta > 0$ のポisson-Dirichletケースを分析し、$\Delta_j$ 上で $ξ$-測度が密度 $\theta^j \zeta_1 \cdots \zeta_j (1 - \sum \zeta_i)^{\theta-1}$ に比例することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Donnelly-Kurtz のルックダウン構成は、共鳴過程における突然変異と複数同時合体を含めるためにどのように一般化可能か？
• RQ2 交換可能な粒子系の経験的測度が制限された $ξ$-Fleming-Viot過程にパスワイズ収束するための条件は何か？
• RQ3 突然変異と繰り返しの Bottleneck を経験する集団において、$ξ$-Fleming-Viot過程はどのように自然に出現するか？
• RQ4 生成作用素の明示的形は何か？ また、関数解析を用いてどのように構成できるか？
• RQ5 パrameter $\theta > 0$ のポisson-Dirichlet 共鳴過程において、複数合体のレートは何か？ そして、Stirling数と Pochhammer 記号 $[\theta]_n$ とどのように関係するか？

主な発見

• 修正されたルックダウン構成により、Donnelly-Kurtz の枠組みが突然変異を伴う $ξ$-Fleming-Viot過程に成功裏に拡張され、$ξ$-共鳴過程とのパスワイズカップリングが得られた。
• 交換可能な粒子系の経験的測度は、$ξ$-Fleming-Viot過程にパスワイズ収束し、分布収束および部分列に沿ってほとんど確実収束が確立された。
• パrameter $\theta > 0$ のポisson-Dirichlet 共鳴過程において、合体レートは $\lambda(k_1,\dots,k_j) = \frac{\theta^j}{[\theta]_k} \prod_{i=1}^j (k_i - 1)!$ で与えられ、ここで $[\theta]_k = \theta(\theta+1)\cdots(\theta+k-1)$ である。
• ポisson-Dirichlet 共鳴過程のブロック数カウンティング過程 $D_t = |\Pi_t|$ の遷移レートは $g_{nk} = \frac{\theta^k}{[\theta]_n} s(n,k)$ であり、ここで $s(n,k)$ は第1種の絶対値付きStirling数である。
• $n$ 個のブロックから $k < n$ 個のブロックへの合体の総レートは $g_n = 1 - \frac{\theta^n}{[\theta]_n}$ であり、1ステップあたりのブロック数の期待損失は $\mathbb{E}[K_n] = \sum_{k=1}^n \frac{\theta^k}{[\theta]_n} s(n,k)$ である。
• ポisson-Dirichlet 共鳴過程はほとんど確実に無限に保たれる。なぜなら $\sum_{n=2}^\infty \gamma_n^{-1} = \infty$ であり、$\gamma_n \leq n$ であり、$\Xi(\Delta_f) = 0$ であるため、有限頻度構造が存在しないことが確認された。