[論文レビュー] A Modified Method for Deriving Self-Conjugate Dirac Hamiltonians in Arbitrary Gravitational Fields and Its Application to Centrally and Axially Symmetric Gravitational Fields

М. В. Горбатенко, В. П. Незнамов|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、シュヴィンガーのゲージにおける tetrad 表 formalism における縮小されたディラックハミルトニアンの部分を用いることで、任意の重力場における自己随伴ディラックハミルトニアンを導出する修正手法を提示している。この手法により、計算複雑度が顕著に低減され、キラー・メトリクス（ボイヤー＝リンデシュトラウス座標系）、エディントン＝フィンケルシュタイン、クラスクァル、フリードマン＝レマートル＝ロバートソン＝ウォーカー・メトリクスといった主要なメトリクスについて、初めて自己随伴ハミルトニアンが導出可能となった。

ABSTRACT

We have proposed previously a method for constructing self-conjugate Hamiltonians H_eta in the eta-representation with a flat scalar product to describe the dynamics of Dirac particles in arbitrary gravitational fields. In this paper, we prove that, for block-diagonal metrics, the Hamiltonians H_eta can be obtained, in particular, using "reduced" parts of Dirac Hamiltonians, i.e. expressions for Dirac Hamiltonians derived using tetrad vectors in the Schwinger gauge without or with a few summands with bispinor connectivities. Based on these results, we propose a modified method for constructing Hamiltonians in the eta-representation with a significantly smaller amount of required calculations. Using this method, here we for the first time find self-conjugate Hamiltonians for a number of metrics, including the Kerr metric in the Boyer-Lindquist coordinates, the Eddington-Finkelstein, Finkelstein-Lemaitre, Kruskal, Clifford torus metrics and for non-stationary metrics of open and spatially flat Friedmann models.

研究の動機と目的

• 任意の重力場における自己随伴ディラックハミルトニアンを計算的に効率よく導出するための手法を開発すること。
• 平坦なスカラー積を伴う η-表現におけるハミルトニアンを構築する際の高い計算コストを解消すること。
• 自己随伴ハミルトニアンの適用範囲を、非定常的かつ軸対称的なメトリクスを含む複雑な時空幾何に拡張すること。
• 簡略化されたブロック対角メトリクス成分を用いて、η-表現におけるハミルトニアンを体系的に導出するフレームワークを提供すること。
• ボイヤー＝リンデシュトラウス座標系におけるキラー・メトリクスについて、初めて自己随伴ハミルトニアンを導出可能とすること。

提案手法

• シュヴィンガーのゲージにおける tetrad 表 formalism を用いて、ディラックハミルトニアンの縮小された部分を構築し、バイスピノル接続項を省略または最小限に抑える。
• 特定のメトリクスのブロック対角構造を活用して、ハミルトニアンの本質的成分を分離し、代数的複雑度を低減する。
• 適切なゲージおよび tetrad 選択を通じて平坦なスカラー積と整合性を持つようにし、η-表現における自己随伴ハミルトニアンを導出する。
• 正規直交 tetrad を用いて曲がった時空におけるディラック方程式を体系的に適用し、力学を η-基底に射影する。
• 中心対称性や軸対称性などのメトリクスの対称性を活用して、スピン接続およびガンマ行列の表現を簡略化する。
• 最終的なハミルトニアンが平坦な内積のもとで自己随伴性を満たすことを検証し、η-表現におけるユニタリ時間発展を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の重力場における自己随伴ディラックハミルトニアンを導出する際の計算負荷をどのように低減できるか？
• RQ2 シュヴィンガーのゲージにおける tetrad 表 formalism を用いて得られるディラックハミルトニアンの縮小部分は、η-表現においても依然として自己随伴演算子を生成できるか？
• RQ3 ブロック対角メトリクスにおいて自己随伴性を保つために必要な最小限の項の集合は何か？
• RQ4 この手法を用いて、ボイヤー＝リンデシュトラウス座標系におけるキラー・メトリクスの自己随伴ハミルトニアンを導出可能か？
• RQ5 この手法は、非定常的かつ空間的に曲がったメトリクス（例えば、フリードマン＝レマートル＝ロバートソン＝ウォーカー型）へも拡張可能か？

主な発見

• 修正手法により、ディラックハミルトニアンの縮小部分に注目することで、自己随伴ディラックハミルトニアンの導出に著しく低い計算負荷が実現された。
• 本手法により、従来のアプローチでは達成できなかった、ボイヤー＝リンデシュトラウス座標系におけるキラー・メトリクスの自己随伴ハミルトニアンが成功裏に導出された。
• 新規フレームワークを用いて、エディントン＝フィンケルシュタイン、フィンケルシュタイン＝レマール、クラスクァル、クリフォード・トーラス・メトリクスに対しても自己随伴ハミルトニアンが導出された。
• 本手法は、非定常的かつ空間的に平坦あるいは開いたフリードマン＝レマートル＝ロバートソン＝ウォーカー・メトリクスにも適用可能であり、宇宙論的時空への応用範囲が拡張された。
• 適切な tetrad およびゲージ選択により、η-表現における平坦な内積のもとで自己随伴性が維持され、ユニタリ時間発展が保証された。
• ブロック対角メトリクスでは、物理的整合性や自己随伴性を損なわずに、ハミルトニアン項の体系的削減が可能であることが確認された。