[論文レビュー] A Modified Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Second Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form

Chunmei Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非発散型の2階楕円型方程式に対して、双対変数（ラグランジュ乗数）を排除することで自由度と条件数を低減する、修正されたプライマル・デュアル弱ガラーキン（M-PDWG）有限要素法を提案する。この手法は、離散 $H^2$、$H^1$、$L^2$ 範数において最適な誤差推定を達成し、滑らかでない係数および凸・非凸領域に対しても数値的精度が確認されている。

ABSTRACT

A modified primal-dual weak Galerkin (M-PDWG) finite element method is designed for the second order elliptic equation in non-divergence form. Compared with the existing PDWG methods proposed in \cite{wwnondiv}, the system of equations resulting from the M-PDWG scheme could be equivalently simplified into one equation involving only the primal variable by eliminating the dual variable (Lagrange multiplier). The resulting simplified system thus has significantly fewer degrees of freedom than the one resulting from existing PDWG scheme. In addition, the condition number of the simplified system could be greatly reduced when a newly introduced bilinear term in the M-PDWG scheme is appropriately chosen. Optimal order error estimates are derived for the numerical approximations in the discrete $H^2$-norm, $H^1$-norm and $L^2$-norm respectively. Extensive numerical results are demonstrated for both the smooth and non-smooth coefficients on convex and non-convex domains to verify the accuracy of the theory developed in this paper.

研究の動機と目的

• 非発散型の2階楕円型偏微分方程式を、滑らかでない係数テンソルを有する場合に解く課題に対処する。
• 既存のプライマル・デュアル弱ガラーキン（PDWG）法における高い計算コストと大きな条件数を克服する。
• 精度と安定性を維持したまま、双対変数を排除した簡素化されたシステムを開発する。
• $H^2$-正則性およびCordes型の条件のもとで、最適な誤差推定を確立する。
• 凸領域および非凸領域、滑らかでない係数を有する問題に対して、広範な数値実験を通じて手法の頑健性を検証する。

提案手法

• 双対変数の安定化に寄与する新たな双一次形 $c(\cdot,\cdot)$ を導入する、修正されたプライマル・デュアル弱ガラーキン（M-PDWG）スキームを提案する。
• 弱ヘッセ行列とラグランジュ乗数を用いて連続性を強制する変分式を定式化する。
• シュール補完法による削減を用いて双対変数を排除し、結果としてプライマル変数のみを含む簡素化されたシステムを得る。
• 適切に選択された場合、新たな双一次項 $c(\cdot,\cdot)$ が条件数を顕著に低減することが示される。
• プライマル変数には $C^0$-連続な有限要素空間を、境界上のトレース空間には、乗数には不連続空間を用いる。
• 多面体メッシュ上に、一様楕円性およびCordes条件を満たす区分的連続係数テンソルを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対変数を排除することで、プライマル・デュアル弱ガラーキン法を精度を損なわずに簡素化できるか？
• RQ2 新たな双一次項 $c(\cdot,\cdot)$ の導入が、得られる線形システムの条件数および条件付けに与える影響は何か？
• RQ3 滑らかでないまたは不連続な係数テンソルを有する問題に対して、M-PDWG法の収束挙動はいかなるものか？
• RQ4 $H^2$-正則性およびCordes型の条件のもとで、 $H^2$、$H^1$、$L^2$ 範数において最適な誤差推定を導出できるか？
• RQ5 非凸領域および不連続係数を有する場合に、数値的にこの手法はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• M-PDWG法により、システムはプライマル変数における単一の式に簡略化され、元のPDWGスキームと比較して自由度と計算コストが著しく削減された。
• 適切に選択された双一次項 $c(\cdot,\cdot)$ を用いることで、簡素化されたシステムの条件数が顕著に低減された。
• 離散 $H^2$-ノルムにおいて最適のオーダーの誤差推定が得られ、$P_2$ 要素では収束率 $O(h^2)$ が得られた。
• 数値的に、$L^2$-ノルムでは $O(h)$、$H^1$-ノルムでは $O(h)$ の収束率が観察され、滑らかさの仮定のもとで理論と整合的であった。
• $\Omega_2$ における不連続係数に対して、ラグランジュ乗数は $L^2$-ノルムで $O(h^{0.6})$ の速度で収束し、理論的期待と一致した。
• $\Omega_1$ および $\Omega_2$ における数値結果により、滑らかでない係数および凸・非凸領域を含む広範な設定において、手法の頑健性が確認された。