[論文レビュー] A MODIFIED SEMI{IMPLICT EULER-MARUYAMA SCHEME FOR FINITE ELEMENT DISCRETIZATION OF SPDES

Gabriel J. Lord, Antoine Tambue|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、加法的空間時間ノイズを伴う2階非線形放物型SPDEを解くために、修正された半陰的Euler-Maruyamaスキームと有限要素空間離散化を組み合わせた手法を提案する。この手法は、標準的な半陰的Euler-Maruyamaスキームと比較して、特に空間的に粗いノイズを伴う拡散方程式および対流拡散反応方程式において、二乗平均平方L²およびH¹ノルムの両方で収束速度を向上させる。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of a general second order semi{linear parabolic stochastic partial dierential equation (SPDE) driven by additive space-time noise. We introduce a new scheme using in time a linear functional of the noise with a semi{implicit Euler{ Maruyama method and in space we analyse a nite element method although extension to nite dierences or nite volumes would be possible. We consider noise that is white in time and either in H 1 or H 2 in space. We give the convergence proofs in the root mean square L 2 norm for a diusion reaction equation and in root mean square H1 norm in the presence of advection. We examine the regularity of the initial data, the regularity of the noise and errors from projecting the noise. We present numerical results for a linear reaction diusion equation in two dimensions as well as a nonlinear example of two-dimensional stochastic advection diusion reaction equation. We see from both the analysis and numerics that we have better convergence properties over the standard semi{implicit Euler{Maruyama method.

研究の動機と目的

• 加法的空間時間ノイズによって駆動される半線形放物型SPDEを解くためのより高精度な数値スキームの開発。
• 空間的に粗いノイズが存在する状況下で、既存の半陰的Euler-Maruyama法の収束特性の改善。
• ノイズの正則性（空間的にH¹またはH²）および初期データの正則性が数値収束に与える影響の分析。
• 数値スキームにおけるノイズ離散化に起因する射影誤差の特定。
• 2次元における線形および非線形SPDEに対する理論的結果の数値実験による検証。

提案手法

• スキームは、半陰的Euler-Maruyama時間離散化と、安定性および精度を向上させるために空間時間ノイズの線形関数を組み合わせる。
• 空間離散化は有限要素法を用いるが、有限差分法や有限体積法への拡張も理論的には可能である。
• 反応拡散方程式に関しては、二乗平均平方L²ノルムにおける収束性を、対流拡散反応方程式に関しては、二乗平均平方H¹ノルムにおける収束性を分析する。
• ノイズは時間にわたり白色であり、空間的にH¹またはH²に属するものとし、ノイズ射影誤差に注意を払って取り扱う。
• 理論的収束証明は、初期データおよびノイズの正則性を考慮し、頑健な誤差境界を保証する。
• 数値実験は、2次元線形反応拡散方程式および2次元非線形確率的対流拡散反応方程式を対象として実施し、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された修正された半陰的Euler-Maruyamaスキームは、加法的空間時間ノイズを伴うSPDEに対して、標準的手法と比較してどのように収束速度を向上させるか？
• RQ2 空間的ノイズ正則性（H¹またはH²）は、数値スキームの収束行動にどのような影響を与えるか？
• RQ3 初期データの正則性およびノイズの射影が、スキーム全体の誤差に与える影響は何か？
• RQ4 特にH¹ノルムにおいて、対流項が存在する状況でも、提案手法は優れた収束性を維持できるか？
• RQ5 数値結果は、線形および非線形SPDEのテストケースにおいて、理論的収束速度をどの程度確認できるか？

主な発見

• 提案されたスキームは、標準的な半陰的Euler-Maruyama法と比較して、二乗平均平方L²およびH¹ノルムの両方でより高い収束速度を達成する。
• 2次元線形反応拡散方程式において、同じノイズおよび初期データ条件のもとで、改善された収束行動を示す。
• 対流拡散反応ケースでは、H¹ノルムにおいても優れた収束性を維持し、理論的予想を確認する。
• 解析から、ノイズの正則性がH¹またはH²空間に属することは収束速度に顕著な影響を与え、より高い正則性が良好な誤差制御をもたらすことが示された。
• 数値結果は、ノイズ離散化に起因する射影誤差がスキーム内で適切に管理されており、安定かつ高精度なシミュレーションを可能にしていることを確認した。
• 本手法は線形および非線形SPDEの両方に対して頑健であり、全テストケースにおいて標準的手法に比して一貫した改善が得られた。