[論文レビュー] A modular approach to Thue-Mahler equations

Dohyeong Kim|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Thue-Mahler方程式を解くためのモジュラーで構成的なアプローチを提示する。この方法は、解を有理数体上の楕円曲線に写像κによって関連づけ、S-整数点の有効な境界と楕円曲線のモジュラリティを活用する。Sが有限な素数集合であるとき、良い還元を持つ楕円曲線に関する有効な境界を用いる。解の数に対する明示的な上界が得られ、Cremonaのデータベースを用いた有効なアルゴリズムにより、多数の数値例ですべての解が計算可能である。

ABSTRACT

Let $h(x,y)$ be a non-degenerate binary cubic form with integral coefficients, and let $S$ be an arbitrary finite set of prime numbers. By a classical theorem of Mahler, there are only finitely many pairs of relatively prime integers $x,y$ such that $h(x,y)$ is an $S$-unit. In the present paper, we reverse a well known argument, which seems to go back to Shafarevich, and use the modularity of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ to give upper bounds for the number of solutions of such a Thue-Mahler equation. In addition, our methods gives an effective method for determining all solutions, and we use Cremona's Elliptic Curve Database to give a wide range of numerical examples.

研究の動機と目的

• 非退化な二変数三次形式hと有限素数集合Sに対して、h(x,y) = S-単位元を満たすThue-Mahler方程式のすべての解を決定するための有効的で構成的な手法を開発すること。
• Sの外で良い還元を持つ楕円曲線の同型類との関係を用いて、互いに素な整数解(x,y)（符号を除く）の数に対する明示的な上界を提供すること。
• 有理数体上での楕円曲線のモジュラリティを用いて、h(x,y) ≠ 0で定義されるアフィン曲線のS-整数点の集合Y(ℤ_S)を計算する実用的なアルゴリズムを確立すること。
• Cremonaの楕円曲線データベースを用いた多数の数値計算を通じて、この手法の実行可能性を示すこと。これには、一般化されたRamanujan-Nagell方程式やx(x−y)yなどの三次形式と、3〜4個の素数からなるSを含む。

提案手法

• S-整数点t ∈ Y(ℤ_S)に対して、Sの外で良い還元を持つ楕円曲線X_t（hの判別式と2を含む）を割り当てる写像κ: Y(ℤ_S) → {ℚ上の楕円曲線の同型類}を定義する。
• 任意の楕円曲線Eに対して、その逆像κ⁻¹(E)が明示的な有理係数多項式によって定義される0次元の代数的集合であることを示し、これによりEに対応する解をアルゴリズム的に計算可能とする。
• ℚ上での楕円曲線のモジュラリティを用いて、κの像が有限かつ計算可能であることを保証し、解の有効な有限性を実現する。
• BrumerとSilvermanの結果またはLMFDBからの列挙を用いて、このような楕円曲線の数を評価し、|Y(ℤ_S)|の上界を得る。
• Cremonaのデータベースを用いて、多様なThue-Mahler方程式に対して、すべての解を計算する手法を実装する。これには、一般化されたRamanujan-Nagell方程式やx(x−y)yのような三次形式が含まれる。
• 楕円曲線EのWeierstrass形式と三次形式h(x,y)から導かれる多項方程式系を解くことで、写像κの明示的な纤维を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー形式と楕円曲線理論を用いて、Thue-Mahler方程式の解の数を有効に上界づけられるか？
• RQ2 S-整数点を有理数体上での楕円曲線の同型類へ写像する関数を構成可能か？ ただし、導手は制御可能であるものとする。
• RQ3 このような写像の逆像が明示的な多項式方程式系によって記述可能か？ これにより、すべての解をアルゴリズム的に計算可能となるか？
• RQ4 実際の計算において、Bakerの対数形式の方法と比較して、本手法の計算可能性はどのように異なるか？
• RQ5 さまざまなThue-Mahler方程式の解集合の構造はどのようなものか？ また、このモジュラー的手法を用いて、すべての解を体系的に計算可能か？

主な発見

• Thue-Mahler方程式の解の数は、|Aut_ℚ(Y)| × G(S)で上界づけられる。ここでG(S)は、Sの外で良い還元を持つ楕円曲線の同型類の数である。
• 有効な上界が得られる：|Y(ℤ_S)| ≤ |Aut_ℚ(Y)| × k₂M^(1/2+ε)。ここでMはSに含まれる素数の積で、ε > 0である。
• 写像κの像に属する各楕円曲線Eに対して、Eに写像される解の集合は有限であり、明示的な多項式系を用いて計算可能であり、これによりすべての解の列挙が可能である。
• 本手法は、16個の異なるThue-Mahler方程式について、すべての解を正しく計算した。これにはx(x−y)y、(x²+7y²)y、x³−y³などの形式と、Sが3〜4素数からなる場合が含まれる。
• 数値表により、本手法の実用性が確認された。例えばS = {2,7,11,13}のx(x−y)yに対して、自明でない解が128個計算された。
• アルゴリズムはCremonaのデータベースを用いて実装され、明示的な同種写像と導手の一致による検証が行われ、すべてのテストケースで正しさが確認された。