[論文レビュー] A modular compactification of $\mathcal{M}_{1,n}$ from $A_\infty$-structures

Yankı Lekili, Alexander Polishchuk|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$n$ 個のマークド点を持つ genus-one 曲線に関連する代数上の最小 $A_\infty$-構造のモジュライ空間と、Smyth のモジュラーコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}(n-1)$ の間の正確な対応関係を確立し、$n \leq 11$ のときかつそのときに限り、コンパクト化されたモジュライ空間が正規で、Gorensteinであり、有理的特異点を持つことを証明する。この構成は、導来圏とホモロジー的摂動理論を用いて、$A_\infty$-構造によるコンパクト化を実現する。

ABSTRACT

We show that a certain moduli space of minimal $A_\infty$-structures coincides with the modular compactification $\bar{\mathcal{M}}_{1,n}(n-1)$ of $\mathcal{M}_{1,n}$ constructed by Smyth. In addition, we describe these moduli spaces and the universal curves over them by explicit equations, prove that they are normal and Gorenstein, show that their Picard groups have no torsion and that they have rational singularities if and only if $n\le 11$.

研究の動機と目的

• $n$ 個のマークド点を持つ genus-one 曲線上の $A_\infty$-構造のモジュライと、$\mathcal{M}_{1,n}$ のモジュラーコンパクト化との間の幾何的対応関係を確立すること。
• このような $A_\infty$-構造のモジュライ空間が、$m$-安定性を用いて構成されたSmythの $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}(n-1)$ に同型であることを証明すること。
• 明示的な方程式を用いてコンパクト化されたモジュライ空間およびその普遍曲線を記述し、正規性、Gorenstein条件、およびPicard群の構造などの幾何的性質を研究すること。
• モジュライ空間の $d$-切断レベルが、$n$ およびベース体の特徴に依存して、どの程度に安定するかを特定すること。

提案手法

• $n$ 個のマークド点を持つ genus-one 曲線上の生成子 $G = \mathcal{O}_C \oplus \bigoplus_{i=1}^n \mathcal{O}_{p_i}$ の Ext-代数上での最小 $A_\infty$-構造のモジュライ空間 $\mathcal{U}_{1,n}^{\text{sns}}$ を構成する。
• ホモロジー的摂動理論を用いて、ゲージ同値を除いた $A_\infty$-構造を定義し、導来圏が元の曲線を回復することを保証する。
• $A_\infty$-構造が Ext-代数を介して曲線によって決定されることを証明し、モジュライ空間 $\mathcal{M}_\infty(E_{1,n})$ が $\mathcal{U}_{1,n}^{\text{sns}}$ に同型であることを示す。
• 十分大きな $d$ に対して $\mathcal{M}_\infty(E_{1,n})$ と $\mathcal{M}_d(E_{1,n})$ の間に同型を確立し、$n$ および特徴に依存する明示的な $d$ の上限を求める。
• アフィンスキーム $U_n$ 上の明示的な代数的座標を用いて、モジュライ空間をアフィン空間の閉部分スキームとして記述し、$A_\infty$-構造から $A_3$-構造への忘却写像と埋め込みを特定する。
• Hochschild コホホロジーおよび変形理論の結果を用いて、切断されたモジュライ空間の逆極限が有限 $d$ で安定することを示し、安定化の閾値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ 個のマークド点を持つ genus-one 曲線の Ext-代数上での最小 $A_\infty$-構造のモジュライ空間は、Smyth のモジュラーコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}(n-1)$ と一致するか？
• RQ2 モジュライ空間 $\mathcal{U}_{1,n}^{\text{sns}}$ がその $d$-切断と同型になるような正確な安定化レベル $d$ は何か？
• RQ3 モジュライ空間 $\mathcal{U}_{1,n}^{\text{sns}}$ が正規かつ Gorensteinであるための条件は何か？
• RQ4 モジュライ空間 $\mathcal{U}_{1,n}^{\text{sns}}$ が有理的特異点を持つのはいつか？
• RQ5 $\mathcal{U}_{1,n}^{\text{sns}}$ の Picard 群の構造は何か？

主な発見

• $A_\infty$-構造のモジュライ空間 $\mathcal{U}_{1,n}^{\text{sns}}$ は、Smyth のコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}(n-1)$ に同型である。
• $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ 上でモジュライ空間 $\mathcal{U}_{1,n}^{\text{sns}}$ は正規かつ Gorensteinである。
• $\mathcal{U}_{1,n}^{\text{sns}}$ のPicard群には torsion がない。
• モジュライ空間が有理的特異点を持つのは $n \leq 11$ のときに限る。
• 切断されたモジュライ空間 $\mathcal{M}_d(E_{1,n})$ の逆極限は安定化する：$n \geq 5$ のとき、すべての $d \geq 4$ に対して $\mathcal{M}_\infty(E_{1,n}) \simeq \mathcal{M}_d(E_{1,n})$ である。
• $n=3$ のとき、$d \geq 5$ で安定化する；$n=2$ のとき、$d \geq 6$；$n=1$ のとき、$d \geq 8$、特徴が $2,3$ でない体上でのみ。