[論文レビュー] A modular functor from state sums for finite tensor categories and their bimodules

Jürgen Fuchs, Gregor Schaumann+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Intracranial Aneurysms: Treatment and Complications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限テンソルカテゴリおよびその双モジュラーの状態和に基づくモジュラー関手を、2フレーミング付き bordism に対して構成する。半単純性やピvォタル構造を仮定せず、1次元多様体にカテゴリを、2次元多様体に関手を割り当てる。主な貢献は、双モジュラーカテゴリを用いた明示的かつ計算可能なマッピングクラス群作用の構成であり、Turaev–Viro理論を半単純でない設定に一般化する双カテゴリカルな状態和形式主義によって実現される。

ABSTRACT

We construct a modular functor which takes its values in the monoidal bicategory of finite categories, left exact functors and natural transformations. The modular functor is defined on bordisms that are 2-framed. Accordingly we do not need to require that the finite categories appearing in our construction are semisimple, nor that the finite tensor categories that are assigned to two-dimensional strata are endowed with a pivotal structure. Our prescription can be understood as a state-sum construction. The state-sum variables are assigned to one-dimensional strata and take values in bimodule categories over finite tensor categories, whereby we also account for the presence of boundaries and defects. Our construction allows us to explicitly compute functors associated to surfaces and representations of mapping class groups acting on them.

研究の動機と目的

• 半単純な融合カテゴリを超える設定に一般化されたTuraev–Viro理論を拡張する、2フレーミング付きbordism におけるモジュラー関手の構築を目的とする。
• 有限テンソルカテゴリ上の双モジュラーカテゴリを用いた状態和の構成法を提供し、1次元の欠損多様体にカテゴリ、2次元の曲面に関手を割り当てる。
• 入力データにピvォタル構造や球面構造を必要としないようにすることで、非半単純な設定への状態和構成の適用範囲を拡大する。
• マッピングクラス群の状態空間への作用を、有限カテゴリのモノイダル2カテゴリ内の自然変換として明示的に実現する。
• カテゴリ的代数と欠損構造を用いて、拡張されたトポロジカル量子場理論における関手と表現の計算フレームワークを確立する。

提案手法

• 1次元ストラトに変数を割り当て、有限テンソルカテゴリ上の双モジュラーカテゴリに値をとる状態和の規定を用いる。
• 有限テンソルカテゴリ上のモジュラーのカテゴリを用いて、欠損1次元多様体にカテゴリを割り当てる。
• 整合的かつ双カテゴリカルな枠組みの中で、埋め込み可能なディスク置換と再細分化の置換を合成することで、欠損曲面における関手を構成する。
• 2フレーミング設定における微分同相不変性を保証するため、並列化手続きとフレーミングのずれを用いる。
• 再細分化の置換と共通の再細分化を用いた図式的計算論を適用し、置換列の同値性を証明する。
• 有限カテゴリ、左完全関手、自然変換の2カテゴリを、モジュラー関手の出力先として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力の有限テンソルカテゴリに半単純性やピvォタル構造を仮定せずに、2フレーミング付きbordism に対してモジュラー関手を構成できるか？
• RQ2 双モジュラーカテゴリを体系的に用いて、状態和の枠組みで曲面および欠損構造に関手を割り当てる方法は何か？
• RQ3 再細分化の置換と埋め込み可能なディスク置換は、状態和の構成の不変性と整合性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 この枠組みにおいて、マッピングクラス群の状態空間への作用を明示的に計算する方法は何か？
• RQ5 この構成を完全に計算可能かつカテゴリカルにし、マッピングクラス群の各元に対応する明示的な自然変換を提供できるか？

主な発見

• 入力の有限テンソルカテゴリに半単純性やピvォタル構造を仮定せず、従来の状態和モデルを一般化するモジュラー関手が構成された。
• 各2フレーミング付き曲面に対して有限カテゴリが割り当てられ、各マッピングクラス群要素に対して自然変換が明示的に計算可能であり、双モジュラー置換を通じて実現される。
• 2つの再細分化の間の再細分化の置換が同値であることが示され、状態和の規定の整合性が保証された。
• 共通の再細分化と2カテゴリ内での関連図式の可換性を用いて、埋め込み可能なディスク置換の列の同値性が確立された。
• 標準的な再細分化の置換が、任意の作成・解消・消去置換の列と同値であることが示され、構成の普遍性が保証された。
• 最終的な結果として、有限カテゴリ、左完全関手、自然変換のモノイダル2カテゴリに値をとる、well-definedかつ計算可能なモジュラー関手が得られた。