[論文レビュー] A modular functor which is universal for quantum computation

Michael Freedman, Michael Larsen+1 more|ArXiv.org|Jan 29, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 104

ひとこと要約

この論文は、第5根の1乗としてのユニタリ表現を用いたSU(2)ウィッテン・チェーン・サイモンズトポロジカルモジュラー関手が、量子計算の普遍的モデルを提供することを示している。量子ビット状態を関手の状態空間に埋め込み、バターン群作用を用いてユニタリゲートを実装することで、著者らは任意の量子回路が有効に近似可能であることを示し、トポロジカルモデルと標準的量子回路モデルとの間で多項式的同等性を確立した。

ABSTRACT

We show that the topological modular functor from Witten-Chern-Simons theory is universal for quantum computation in the sense a quantum circuit computation can be efficiently approximated by an intertwining action of a braid on the functor's state space. A computational model based on Chern-Simons theory at a fifth root of unity is defined and shown to be polynomially equivalent to the quantum circuit model. The chief technical advance: the density of the irreducible sectors of the Jones representation, have topological implications which will be considered elsewhere.

研究の動機と目的

• SU(2)チェーン・サイモンズ理論が第5根の1乗において定義されるトポロジカル量子場理論が、量子計算の普遍的モデルであることを確立すること。
• モジュラー関手の状態空間におけるバターン群作用が、任意の量子回路操作を有効に近似できることを示すこと。
• 量子誤りの耐性を確保するため、量子ビットを高次元のトポロジカル状態空間に埋め込み、「量子ビットの広がり」誤りを管理することにより、フォールトトレランスの課題を解決すること。
• q = e^{2πi/5}におけるジョーンズ表現がSU(2)に密に分布することを証明し、バターン生成子による普遍的ゲートセットの実現を可能にすること。
• トポロジカルモデル（CS5）と標準的量子回路モデルとの間で多項式的同等性を示すこと。

提案手法

• q = e^{2πi/5}におけるSU(2)ウィッテン・チェーン・サイモンズ理論から、マークされた点を持つ曲面上の conformal blocks を用いて、トポロジカルモジュラー関手（TMF）を構築する。
• k-量子ビットヒルベルト空間 S_k = (C^2)^⊗k を、固定された埋め込み i を用いて、TMFの状態空間 V(D², 3k) に埋め込む。
• V(D², 3k) 上のバターン群 B(3k) の作用を用いて、埋め込み空間上のユニタリ操作を実装する。関係式 i∘U = V(b)∘i を用いる。
• 3本のストランドのバターンに作用するジョーンズ表現を用いて、単一および2量子ビットゲートをバターン群生成子として実現する。
• シュールの補題と固有値解析を用いて、バターン群の像の導来群が、状態空間上で完全に不変かつ密に作用することを示し、SU(5)またはSU(8)に作用することを保証する。
• 固有値および重複度の制約を用いて、像の実現可能性として他のすべての可能性（例：SU(2)、Sp(4)、SU(3)）を除外し、唯一SU(5)およびSU(8)が妥当な候補であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(2)チェーン・サイモンズ理論が第5根の1乗において、その状態空間におけるバターン群作用によって任意の量子回路操作を実現可能か？
• RQ2 q = e^{2πi/5}におけるジョーンズ表現がSU(2)に密に分布するか？これにより、普遍的量子計算が可能になるか？
• RQ3 量子ビット状態をトポロジカル状態空間に埋め込むには、デコherenceおよび「量子ビットの広がり」誤りを最小限に抑えるためにどのような方法が有効か？
• RQ4 モジュラー関手が量子計算の普遍的モデルとなるための代数的およびトポロジカルな条件は何か？
• RQ5 バターン群表現とトポロジカルモデルにおける普遍的ゲートセットとの間の正確な関係は何か？

主な発見

• q = e^{2πi/5}におけるSU(2)チェーン・サイモンズ理論は、バターン群作用がk量子ビット上の任意ユニタリ操作を有効に近似可能であるモジュラー関手を生成する。
• バターン群表現の像が状態空間においてSU(2)に密に分布することを示し、これは量子計算の普遍的性を満たすために必要かつ十分な条件である。
• バターン群の像の導来群は、状態空間上で完全に不変かつ忠実に作用し、5次元の場合にはSU(5)、8次元の場合にはSU(8)に作用する。
• 固有値および重複度の解析により、他のすべての可能性（例：SU(2)、Sp(4)、SU(3)）が除外され、唯一SU(5)およびSU(8)が妥当な候補であることが判明した。
• q = e^{2πi/5}におけるSU(2)の5次元の非自明な表現は、比が±1に等しくない2つの固有値を持つ。これは普遍的ゲート生成に不可欠である。
• トポロジカルモデルCS5は、標準的量子回路モデルと多項式的同等である。これにより、計算複雑性の意味で普遍的であることが確立された。