[論文レビュー] A modular invariance property of multivariable trace functions for regular vertex operator algebras

Matthew Krauel, Masahiko Miyamoto|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正則頂点算術代数（VOA）の加群上の多変数トレース関数に対して、SL₂(ℤ)-不変性の性質を確立し、Zhuの単一変数モジュラー不変性を高 genus の設定に拡張する。主な貢献は、これらの多変数トレース関数が全モジュラー群の下で共変的に変換することの証明であり、これによりシーゲル・シータ級数の反転公式が新たに証明され、正則な補間子をもつ単純な部分VOAのすべての単純加群が、埋め込まれたVOAのある単純加群に現れることを示す。

ABSTRACT

We prove an $ ext{SL}_2 (\mathbb{Z})$-invariance property of multivariable trace functions on modules for a regular VOA. Applying this result, we provide a proof of the inversion transformation formula for Siegel theta series. As another application, we show that if $V$ is a regular VOA containing a regular subVOA $U$ whose commutant $U^c$ is regular and satisfies $(U^c)^c =U$, then all simple $U$-modules appear in some simple $V$-module.

研究の動機と目的

• 正則VOAにおける単一変数トレース関数のZhuのモジュラー不変性結果を、多変数トレース関数へと拡張すること。
• 多変数トレース関数がシーゲル上半平面 H_g において SL₂(ℤ) の下で共変的に変換することを確立し、楕円モジュラー形式の枠組みを一般化すること。
• この不変性を応用して、シーゲル・シータ級数の反転公式を導出し、数論における古典的結果の新たな証明を提供すること。
• 単純な正則VOA U が単純な正則補間子 Uᶜ を持ち、(Uᶜ)ᶜ = U を満たすならば、すべての単純 U 加群が、ある単純 V 加群に現れることを示すこと。

提案手法

• g次元のジョルダン部分代数から得られる頂点作用素と相反的ベクトルを用いて、シーゲル上半平面 H_g 上に多変数トレース関数を定義する。
• 単一変数トレース関数のZhuのモジュラー不変性結果を基礎的道具として用い、多変数の場合の変換法則を導出する。
• V_L 加群 M = V_{L+κ} に対して、多変数トレース関数 Tr_M(o(1):A) を、行列 A ∈ H_g に依存する指数関数的重み付きの格子ベクトルの和として表現する。
• A の直交的対角化を用いて、トレース関数をシーゲル・シータ級数 γ_M(A) = ∑_{β∈L+κ} exp(πi tβ̃ A β̃) として表現する。ここで β̃ はペアリング係数のベクトルである。
• Im(A) の正定値性を用いて指数的減衰を示し、H_g 上での解析的性質を証明することで、収束を保証する。
• Verlindeの公式とモジュラー S 行列を用いて、反転変換法則を導出する：(−i/det(A))^{g/2} γ_W^j(−A⁻¹) = ∑_h s_jh γ_W^h(A) ここで s_jh は S 行列の成分である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則VOAにおける単一変数トレース関数のモジュラー不変性は、シーゲル上半平面 H_g における多変数トレース関数へと拡張可能か？
• RQ2 モジュラー S 行列の作用が、シーゲル・シータ級数の反転公式を導出するのに用いられるか？
• RQ3 部分VOA U 及びその補間子 Uᶜ にどのような条件下で、正則VOA V におけるすべての単純 U 加群が、ある単純 V 加群に現れるか？
• RQ4 H_g 上の多変数トレース関数は、古典的シーゲルモジュラー形式およびシータ級数とどのように関係するか？
• RQ5 高 genus における全 SL₂(ℤ) 行動の下で、多変数トレース関数の正確な変換法則は何か？

主な発見

• 任意の正則格子VOA V_L 及びその単純加群 M に対して、多変数トレース関数 Tr_M(o(1):A) はシーゲル上半平面 H_g で解析的である。
• 関数 γ_M(A) = Tr_M(o(1):A) ∏_{i=1}^g η(μ_i) は、格子 L+κ に関連する古典的シーゲル・シータ級数である。
• 関数 γ_W^j(A) は SL₂(ℤ) の下で完全なモジュラー変換法則を満たし、反転公式は (−i/det(A))^{g/2} γ_W^j(−A⁻¹) = ∑_h s_jh γ_W^h(A) で与えられる。ここで s_jh は S 行列の係数である。
• 多変数トレース関数のモジュラー不変性は、シーゲル・シータ級数の反転公式の新たな証明を提供する。
• U が正則VOA V の単純な正則部分VOAであり、単純な正則補間子 Uᶜ を持ち、(Uᶜ)ᶜ = U を満たすならば、すべての単純 U 加群は、ある単純 V 加群の部分加群として現れる。
• この構成により、Zhu理論からの S 行列が多変数トレース関数の変換を支配することを確認し、モジュラー関手構造を高 genus へと拡張した。