[論文レビュー] A Modular Symbol with Values in Cusp Forms

Vicenţiu Pașol|ArXiv.org|Nov 22, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、M₂(ℚ) 上の局所定数分布値をとる GL₂(ℚ) の新しいモジュラー記号を構成する。この記号は、2変数の尖点形式級数値をとる。Γ₁(N) に対して不変な主開部分集合に制限し、同次型 k−2 部分を抽出することで、Borisov と Gunnells の重み k ≥ 2、レベル N > 1 の尖点形式に対するモジュラー記号が回復される。同時に、Eisenstein 級数分布の間の新しい Manin 型関係が明らかになる。

ABSTRACT

In [B-G1] and [B-G2], Borisov and Gunnells constructed for each level (N > 1) and for each weight (k > 1) a modular symbol with values in $Sk(Γ_1(N))$ using products of Eisenstein series. In this paper we generalize this result by producing a modular symbol (for GL2(Q)!!!) with values in locally constant distributions on M2(Q) taking values in the space of cuspidal power series in two variables (see Definition 5). We can recover the above cited result by restricting to a principal open invariant for the action of $Γ_1(N)$ and to the homogeneous degree $k-2$ part of the power series. We should also mention that Colmez [Col] constructs similar distributions (zEis(k; j)). The modification in the definition of such distributions allow us to observe further relations among these distributions (Manin Relations) which in turn makes possible the existence of our construction. In the last section we exhibit some instances of these relations for the full modular group.

研究の動機と目的

• Borisov と Gunnells の尖点形式に対するモジュラー記号構成を、尖点形式級数値をとる分布のより広い枠組みへ一般化すること。
• 尖点形式と Eisenstein 級数の情報を統一的な分布値記号として含む GL₂(ℚ) に対するモジュラー記号を確立すること。
• Eisenstein 級数分布の定義を特定の方法で変更することで、新しい代数的関係（Manin 関係）を明らかにし、新たなモジュラー記号の構成を可能にすること。
• 古典的 Borisov-Gunnells モジュラー記号が、この新しい記号の次数抽出および不変制限によって特殊化として得られることを示すこと。

提案手法

• 2変数の尖点形式級数値をとる、M₂(ℚ) 上の局所定数分布の空間に値をとる分布値モジュラー記号 Φ を導入する。
• Eisenstein 級数 E_U₁(τ,X) および E_U₂(τ,Y) の積の正則射影 H を用いて記号を定義する。ここで U₁, U₂ は M₂(ℚ) 内の特定の行列である。
• Weierstrass ℘-関数と theta 関数の対数微分に関する恒等式を用い、構成の背後にある主要な代数的恒等式を導出する。
• 分布値記号に Manin 関係を適用し、SL₂(ℤ) の作用と整合的であり、モジュラー性が保証されることを示す。
• 記号を U₁(N) に制限し、級数の同次型 k−2 部分を抽出することで、古典的 Borisov-Gunnells モジュラー記号 Φ_{k,N}^{B-G} を回復する。
• Eisenstein 級数の明示的 q-展開および恒等式（E_k と低重量 Eisenstein 級数の積との関係を含む）を導出し、一貫性の検証および新しい数論的恒等式の導出を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL₂(ℚ) のモジュラー記号を、2変数の尖点形式級数値をとる分布に値をとるように構成することは可能か？ これは Borisov-Gunnells の構成を一般化するものである。
• RQ2 Eisenstein 級数分布を特定の方法で変更した場合に、どのような代数的関係（Manin 関係）が生じるのか？ また、それらの関係はどのように新たなモジュラー記号の存在を可能にするか？
• RQ3 新しいモジュラー記号を主開部分集合 U₁(N) に制限し、同次型 k−2 部分を抽出することで、Γ₁(N) の Borisov-Gunnells モジュラー記号がどのように回復されるか？
• RQ4 この構成における Manin 関係から、除数関数と Eisenstein 級数の間の新しい恒等式がどのように導かれるか？ 特に、完全モジュラー群 SL₂(ℤ) の場合に注目する。
• RQ5 導出された関係から、SL₂(ℤ) のモジュラー形式の空間が E₂ とその重み上昇導関数によって生成可能であるか、重み付き同次的意味で示せるか？

主な発見

• Symb_{GL₂(ℚ)}(𝒟_{naive}(M₂(ℚ), ̃𝒮₂)) 内に、値が D_∞ で2変数 Eisenstein 級数積の正則射影に一致する、一意に定まるモジュラー記号 Φ が存在する。
• Φ を級数の同次型 k−2 部分に特殊化し、U₁(N) に制限することで、Borisov-Gunnells モジュラー記号 Φ_{k,N}^{B-G} が得られ、すべての k ≥ 2 に対して彼らの構成が回復される。
• k=2 の場合、重み1 Eisenstein 級数 s_{c/N} と s_{d/N} の積を用いて記号が回復され、c,d ≠ 0 のとき f_{Φ_{2,N}^{B-G}}((c d)) = s_{c/N} s_{d/N} が成り立つ。
• 本稿では、Eisenstein 級数に関する新しい恒等式が導出され、たとえば 5E₄ = E₂² + 4πi(δ₂/2)E₂ のような式が得られ、これは除数関数 σ₃(n) と σ₁(n) を含む算術的恒等式に翻訳される。
• 新しい恒等式が証明された：すべての n > 0 に対して、∑_{i+j=n} P_i(X,Y)P_j(X,Y)E_{i+1}E_{j+1} = ((n+1)P_n(X,Y) − P_{n+1}(X,Y)P_2(X,Y)/(XY(X+Y))) · E_{n+2} が成り立つ。
• SL₂(ℤ) のモジュラー形式の空間が、E₂ とその重み上昇導関数によって重み付き同次的意味で生成可能であることが示され、すべての高次形式がこれらの生成子の重み付き多項式として表現可能である。