[論文レビュー] A moment map picture of relative balanced metrics on extremal Kähler manifolds

Yuji Sano, Carl Tipler|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、極値ケーラー多様体上の相対的バランスのとれた計量に対して、モーメント写像の枠組みを確立し、任意の極値計量が特定の1パラメータ部分群に関連する $C^{\infty}$-極限としての $\sigma_k$-バランスのとれた計量によって得られることを証明する。これはドナルドソンの定数スカラー曲率ケーラー計量に関する結果を極値の場合に拡張し、極値計量の一意性および分解定理について、新しい証明をもたらす。

ABSTRACT

We give a moment map interpretation of some relatively balanced metrics. As an application, we extend a result of S. K. Donaldson on constant scalar curvature Kähler metrics to the case of extremal metrics. Namely, we show that a given extremal metric is the limit of some specific relatively balanced metrics. As a corollary, we recover uniqueness and splitting results for extremal metrics in the polarized case.

研究の動機と目的

• バランスのとれた計量におけるドナルドソンのモーメント写像枠組みを、極値ケーラー計量の場合に拡張すること。
• 群の表現およびトーラス作用を用いて、$\sigma_k$-バランスのとれた計量のモーメント写像的解釈を提供すること。
• コンパクトな等長群の仮定の下で、$k$ が十分に大きいとき、極値計量が $\sigma_k$-バランスのとれた計量の $C^\infty$-極限として得られることを証明すること。
• モーメント写像構造とケンプ・ネス理論を用いて、極値計量の一意性および分解結果を再構築すること。

提案手法

• 自己同型群の複素化最大トーラス内の重み $\sigma_k \in T_k^c$ を用いて、量子化されたカラビ流れ反復 $T_k$ の不動点として $\sigma_k$-バランスのとれた計量を定義する。
• ヘルミート計量の空間上のモーメント写像 $\mu^{\sigma_k}$ を用い、重み付き作用の下で $\sigma_k$-バランスのとれた計量をモーメント写像の零点として特徴付ける。
• ケンプ・ネス定理および幾何的不変理論（GIT）を用いて、摂動法と一様推移的推定を用いて、$k$ が十分に大きいとき $\sigma_k$-バランスのとれた計量が存在することを示す。
• スケーリング $\omega \mapsto k\omega$ の下での $C^r$-ノルム推定を用いて、$\sigma_k$-バランスのとれた計量が $C^\infty$-位相で初期の極値計量に収束することを示す。
• 最適な重み $\sigma_k$ を等長群の複素化最大トーラスのリー代数上の特徴として特徴付け、それらを極値ベクトル場に関連付ける。
• GITにおけるヒルベルト＝ムンフォードの基準を適用し、$\sigma_k$-バランスのとれた計量の安定性から、積多様体上の極値計量の分解が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数スカラー曲率の場合に用いられたバランスのとれた計量のモーメント写像枠組みを、極値計量の場合に拡張できるか？
• RQ2 非自明な自己同型群が存在する場合、$k$ が十分に大きいとき $\sigma_k$-バランスのとれた計量は存在するか？ また、それらは極値計量に収束するか？
• RQ3 モーメント写像理論と $\sigma_k$-バランスのとれた近似を用いて、極値計量の一意性を再証明できるか？
• RQ4 積多様体上の極値計量の分解性は、$\sigma_k$-バランスのとれた計量のGIT安定性から導かれるか？
• RQ5 最適な重み $\sigma_k$ は、極値ベクトル場および多様体上の正則ベクトル場とどのように関係しているか？

主な発見

• 任意の極値ケーラー多様体 $(X,L)$ とその極値計量 $\omega_{ex}$ に対して、ある $k_0 \in \mathbb{N}$ が存在し、すべての $k \geq k_0$ に対して $(X,L^k)$ が $k$-次の $\sigma_k$-バランスのとれた計量をもつ。
• 各 $k$ における $\sigma_k$-バランスのとれた計量 $\omega(k)$ の列は、$k \to \infty$ のとき、初期の極値計量 $\omega_{ex}$ に $C^\infty$-位相で収束する。
• 最適な重み $\sigma_k$ は、等長群の複素化最大トーラスのリー代数上の特徴として特徴付けられ、極値ベクトル場の量子化を提供する。
• $(X,L)$ の自己同型に関して、与えられた $2\pi c_1(L)$-類内での極値計量の一意性は、モーメント写像枠組みと $\mu^{\sigma_k}$ の零点集合の一意性から直接導かれる。
• 積多様体上の極値計量の分解定理が再構築される：$X = X_1 \times X_2$ が極値計量をもつならば、それは積計量であり、各因子は極値計量をもつ。
• $\sigma_k$-バランスのとれた計量が $\omega_{ex}$ に収束する速度は、$C^r$-ノルムで $\mathcal{O}(k^{n/2 - q + r})$ であり、$q$ を十分に大きく選べば任意に速くできる。