[論文レビュー] A Monte Carlo Study of Pairwise Comparisons

Michael W. Herman, Waldemar W. Koczkodaj|arXiv (Cornell University)|May 7, 2015

Multi-Criteria Decision Making参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

このモンテカルロ研究では、不一致度が異なる条件下で、幾何平均(GM)法と固有ベクトル(EV)法が対比較行列を解く際の精度を評価する。4〜7次の100万個のシミュレートされた逆行列を用い、ユークリッド距離尺度ではGMがEVを上回るが、チェビシェフ距離尺度ではEVが優位であることが判明。これは、距離尺度に応じて最適な性能を示すメソッドが異なることを示している。

ABSTRACT

Consistent approximations obtained by geometric means ($GM$) and the principal eigenvector ($EV$), turned out to be close enough for 1,000,000 not-so-inconsistent pairwise comparisons matrices. In this respect both methods are accurate enough for most practical applications. As the enclosed Table 1 demonstrates, the biggest difference between average deviations of $GM$ and $EV$ solutions is 0.00019 for the Euclidean metric and 0.00355 for the Tchebychev metric. For practical applications, this precision is far better than expected. After all we are talking, in most cases, about relative subjective comparisons and one tenth of a percent is usually below our threshold of perception.

研究の動機と目的

• 対比較行列を解く際の幾何平均(GM)法と固有ベクトル(EV)法の精度を実証的に評価すること。
• モンテカルロシミュレーションを用いて、逆行列内の不一致度が解の精度に与える影響を調査すること。
• GM法とEV法のどちらが、さまざまな不一致度と距離尺度において一貫してより精度の高い解を生成するかを特定すること。
• 不一致行列における順位逆転の実用的影響と、解が一貫性のあるものに収束する傾向を検討すること。

提案手法

• 不一致度を制御するため、D = 0.1 から 0.5 の偏差レベルで、4〜7次の非一貫性のある逆行列を1,000,000個生成した。
• 解ベクトルを算出するために、幾何平均(GM)法と固有ベクトル(EV)法を適用し、合計が1になるように正規化した。
• 成分ごとの除算を用いて、解ベクトルから再構成された対比較行列を計算し、元の行列との距離を測定した。
• 元の行列と再構成された行列との間の距離を、ユークリッド距離とチェビシェフ距離の両方の尺度で測定し、解の精度を評価した。
• 高速計算のためC言語を用い、100MHzのPentiumプロセッサで1偏差レベルあたり10分で処理を実行。APL2を検証用の基準として使用した。
• 全テストケースにおいて、GMとEVの勝率と、精度差(diff)を評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不一致度が制御された対比較行列に対して、幾何平均(GM)法と固有ベクトル(EV)法のどちらがより精度の高い解を生成するか？
• RQ2 距離尺度の選択（ユークリッド距離 vs. チェビシェフ距離）が、GM法とEV法の相対的性能にどのように影響するか？
• RQ3 不一致度が低下するにつれて解の精度が向上するか？この傾向は、行列の順序や手法に関係なく一貫しているか？
• RQ4 不一致行列における順位逆転はどの程度発生するか？また、不一致度の閾値が存在し、それ以下では順位逆転がほとんど発生しないとされるか？
• RQ5 非一貫性のある行列において、一貫性のある解への統計的収束が観察されるか？この現象は、GM法とEV法の実用的使用を支持するか？

主な発見

• ユークリッド距離尺度を用いた場合、幾何平均(GM)法が固有ベクトル(EV)法よりも精度の高い解を生成した。
• チェビシェフ距離尺度を用いた場合、固有ベクトル(EV)法が幾何平均(GM)法を上回った。
• 4〜7次のすべての行列順序において、偏差レベル(D)が低下するにつれて解の精度が向上し、不一致度が低いほどより良い近似が得られることを示した。
• ユークリッド距離尺度下でのGM法の性能優位性は、要素間の差を均等に扱う性質に起因し、この距離尺度の均等化特性と整合している。
• チェビシェフ距離尺度下でのEV法の優位性は、元の行列と再構成された行列との間の最大絶対差を最小化する最適化特性に起因する。
• どちらの方法にも普遍的に優位であるという解析的証明は得られず、結果から、メソッドの選択は使用する距離尺度と応用文脈に依存すべきであると示唆された。