[論文レビュー] A Mordell-Weil theorem for abelian varieties over fields generated by torsion points

Michael Larsen|ArXiv.org|Mar 18, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、数体上のアーベル多様体のすべてのねじれ点によって生成される体上のモーデル・ヴェイユ型定理を確立する。$ρ_\ell$-表現のガロアコホノロジーと、$ρ_\ell$-作用がテートモジュールに与える性質を用いて、モーデル・ヴェイユ群 $A(K^{\mathrm{tor}})$ のねじれ部分群を除いた商が、有限生成であるとは限らない場合でも自由アーベル群であることを証明する。

ABSTRACT

If A is an abelian variety over a number field K, and L is a (possibly infinite) extension of K generated by torsion points of A, then the quotient of A(L) by its torsion subgroup is a free abelian group.

研究の動機と目的

• 数体上のアーベル多様体のすべてのねじれ点によって生成される体へのモーデル・ヴェイユ定理の拡張を図る。
• 特にねじれ部分群を除いた商の構造を理解すること。
• $A(K^{\mathrm{tor}})/A(K^{\mathrm{tor}})_{\mathrm{tor}}$ が、無限生成であっても自由アーベル群であることを示すこと。
• アーベル多様体の文脈において、クーマー理論とガロアコホノロジーの相互作用を分析すること。

提案手法

• $i=1,2$ に対して、$H^i(G_\ell, T_\ell)$ のガロアコホノロジーを用いて $A(K^{\mathrm{tor}})$ の構造を研究する。
• $\ell \gg 0$ に対して $H^i(G_\ell, T_\ell)$ の消滅を用いて、有限性およびねじれなしを導出する。
• リンドン＝ホイッシャード＝セル・スペクトル系列を用いて、ガロア群のコホノロジーと部分群のコホノロジーを関連付ける。
• $\ell$-進リー群に対して、群とリー代数のコホノロジーのラザールの同型を活用する。
• $\ell$-進表現の純粋性と半単純性を用いて、$V = T_\ell \otimes \mathbb{Q}_\ell$ に対して $H^i(G_\ell, V) = 0$ を示す。
• ボゴモロフの定理を適用して、$\ell$-ねじれに作用する固定点の挙動が制御された $\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{tor}}/K)$ の元を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上のアーベル多様体のすべてのねじれ点によって生成される体上のモーデル・ヴェイユ群は自由アーベル群か？
• RQ2 $A(K^{\mathrm{tor}})/A(K^{\mathrm{tor}})_{\mathrm{tor}}$ は、有限生成ではない場合でも自由アーベル群のままであるか？
• RQ3 $\ell \gg 0$ のとき $H^i(G_\ell, T_\ell)$ のコホノロジーの消滅を用いて、$A(K^{\mathrm{tor}})$ の構造的性質を導けるか？
• RQ4 クーマー理論的拡大とねじれ体が、アーベル多様体の文脈でどの程度相互に作用するか？

主な発見

• $A(K^{\mathrm{tor}})/A(K^{\mathrm{tor}})_{\mathrm{tor}}$ は、無限生成であっても自由アーベル群である。
• $i \geq 0$ に対して、ガロアコホノロジー $H^i(G_\ell, T_\ell)$ は有限であり、特に $i=1,2$ に対して $\ell \gg 0$ で消える。
• $\rho_\ell$ が非ゼロの重みで純粋かつ半単純であるとき、$H^i(G_\ell, T_\ell)$ は消える。
• 各素数 $\ell$ に対して、$A(K^{\mathrm{tor}})$ のモーデル・ヴェイユ群の飽和は、その $\ell$-飽和に対して有限指数であるため、自由性が保証される。
• $K^{\mathrm{tor}}$ は点の $\ell$-乗根をとる操作について閉じており、すべての $\ell$ に対して $A(K^{\mathrm{tor}})$ は $\ell$-飽和である。
• この結果は $K_A^{\mathrm{tor}}$ の部分体 $L \subset K_A^{\mathrm{tor}}$ に対しても拡張可能であり、任意のアーベル多様体 $B$ に対して $B(L)_{\mathrm{tf}}$ は自由アーベル群である。