[論文レビュー] A most general edge elimination graph polynomial

Ilia Averbouch, Benny Godlin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、辺の削除、縮約、抽出の操作に基づく再帰的関係を通じて、 Tutte多項式、マッチング多項式、彩色多項式、およびその他のグラフ不変量を統一する新しいグラフ多項式 ξ(G,x,y,z) を導入する。この多項式が、このような操作に関する線形再帰関係を満たす最も一般な多項式であることを証明し、同時に帰納的定義と明示的な集合展開式の両方を提供する。さらに、辺ラベル付きグラフに対しては ξₗₐb(G,x,y,z,t̄) を用いてフレームワークを拡張する。

ABSTRACT

We look for graph polynomials which satisfy recurrence relations on three kinds of edge elimination: edge deletion, edge contraction and deletion of edges together with their end points. Like in the case of deletion and contraction only (W. Tutte, 1954), it turns out that there is a most general polynomial satisfying such recurrence relations, which we call $ξ(G,x,y,z)$. We show that the new polynomial simultaneously generalizes the Tutte polynomial, the matching polynomial, and the recent generalization of the chromatic polynomial proposed by K.Dohmen, A.Pönitz and P.Tittman (2003), including also the independent set polynomial of I. Gutman and F. Harary, (1983) and the vertex-cover polynomial of F,M. Dong, M.D. Hendy, K.T. Teo and C.H.C. Little (2002). We establish two definitions of the new polynomial: first, the most general confluent recursive definition, and then an explicit one, using a set expansion formula, and prove their identity. We further expand this result to edge-labeled graphs as was done for the Tutte polynomial by T. Zaslavsky (1992) and B. Bollobás and O. Riordan (1999). The edge labeled polynomial $ξ_{lab}(G,x,y,z, \bar{t})$ also generalizes the chain polynomial of R.C. Read and E.G. Whitehead Jr. (1999). Finally, we discuss the complexity of computing $ξ(G,x,y,z)$.

研究の動機と目的

• 辺の削除、縮約、抽出（辺およびその端点の削除）に関する線形再帰関係を満たす最も一般なグラフ多項式を特定すること。
• Tutte多項式、マッチング多項式、彩色多項式などの既存のグラフ多項式を、一つの枠組みで統一すること。
• 新多項式に対して、再帰的定義と明示的な集合展開式の両方を確立し、それらの等価性を証明すること。
• 辺ラベル付きグラフへのフレームワークの拡張を行い、チェーン多項式などのラベル付き不変量を一般化すること。
• ξ(G,x,y,z) および ξₗₐb(G,x,y,z,t̄) の計算複雑性を、特に木幅およびクリーク幅に関連して分析すること。

提案手法

• 削除（G−e）、縮約（G/e）、抽出（G†e）の3つの基本的辺除去操作を定義する。ここで、抽出は辺とその両端点を削除する操作である。
• これらの操作に基づき、ξ(G,x,y,z) のコンフリュエントな再帰的定義を提示する。空グラフおよび単一頂点グラフの基本ケースを含む。
• 辺の部分集合を削除、縮約、抽出の成分に分割することで、ξ(G,x,y,z) の明示的な集合展開式を導出する。
• 構造的グラフ分解と帰納法を用いて、再帰的定義と明示的定義の間の恒等式を証明する。
• 辺にラベルを割り当てる t̄ を用いて、ξₗₐb(G,x,y,z,t̄) というラベル付きバージョンを導入し、グラフに拡張する。
• モノアディック第二階論理（MSOL）を用いて、木幅が有界なグラフにおいて ξ(G) および ξₗₐb(G) が固定パrameter可 tractable であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺の削除、縮約、抽出を含む線形再帰関係を満たす最も一般なグラフ多項式は何か？
• RQ2 新多項式 ξ(G,x,y,z) は、Tutte多項式、マッチング多項式、彩色多項式を同時に一般化できるか？
• RQ3 ξ(G,x,y,z) に対して閉形式の集合展開式が存在するか？ また、再帰的定義と一致するか？
• RQ4 このフレームワークは辺ラベル付きグラフへ拡張可能か？ また、ラベル付き多項式はチェーン多項式などの既知の不変量を一般化するか？
• RQ5 ξ(G,x,y,z) および ξₗₐb(G,x,y,z,t̄) は、木幅またはクリーク幅が有界なグラフにおいて多項式時間で計算可能か？

主な発見

• ξ(G,x,y,z) は、辺の削除、縮約、抽出に関する再帰関係を満たす最も一般なグラフ多項式である。
• 構造的帰納法を用いて、ξ(G,x,y,z) の再帰的定義と明示的集合展開式の等価性が証明された。
• ξ(G,x,y,z) は、Tutte多項式、マッチング多項式、および Dohmen–Pönitz–Tittman の彩色多項式の代入例として一般化される。
• 辺ラベル付きバージョン ξₗₐb(G,x,y,z,t̄) は、Read と Whitehead のチェーン多項式を一般化し、MSOL で定義可能である。
• ξ(G,x,y,z) および ξₗₐb(G,x,y,z,t̄) は、木幅が有界なグラフにおいて多項式時間で計算可能であり、実行時間の指数は木幅パrameter に依存しない。
• 一般には ξ(G,x,y,z) の計算は #P 困難であるが、木幅が有界なグラフでは固定パrameter可 tractable である。ただし、MSOL に基づく手法における隠れた定数の大きさは実用性に制限をもたらす可能性がある。