[論文レビュー] A much larger class of Frolicher spaces than that of convenient vector spaces may embed into the Cahier topos

Hirokazu Nishimura|ArXiv.org|Aug 6, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、『Weil指数的可積分性』と呼ばれる条件を満たすFrölicher空間のより大きなクラスが、Cartesian閉構造を保ちつつCahiers toposに完全かつ忠実に埋め込まれることを示している。この埋め込みは、ある予想に基づいて確立されており、以前の便利なベクトル空間に関する結果を一般化し、合成微分幾何学をより広いクラスの滑らかさを持つ空間へと拡張する。

ABSTRACT

It is well known that the category of Frolicher spaces and smooth mappings is Cartesian closed. The principal objective in this paper is to show that the full subcategory of Frolicher spaces that believe in fantasy that every Weil functor is really an exponentiation by the corresponding infinitesimal object is also Cartesian closed. Under the assumption that a conjecture holds, it is shown that these Frolicher spaces embed into the Cahier topos with the Cartesian closed structure being preserved.

研究の動機と目的

• 便利なベクトル空間のCahiers toposへの既知の埋め込みを、より広いクラスのFrölicher空間へと拡張すること。
• すべてのWeil函手が無限小対象による真の指数関数として作用するようなFrölicher空間のクラスを同定・特徴づけること。
• そのような『Weil指数的可積分性』を持つFrölicher空間のクラスがCartesian閉圏をなすことの証明。
• この圏をCahiers toposに完全かつ忠実に埋め込み、有限積と指数関数を保存することの確立。
• 予想を仮定することで、KockとReyesの便利なベクトル空間に関する結果を、はるかに広いクラスの滑らかな空間へ一般化すること。

提案手法

• Weil代数 $W$ を用いたFrölicher空間 $X$ のWeil延長 $X \times W$ を定義し、関手 $\mathbf{FS} \times \mathbf{W} \to \mathbf{FS}$ としての双関手に拡張する。
• 任意のWeil代数 $W$ に対して関手 $\cdot \otimes W$ が積を保存することを証明し、Cartesian閉構造と整合性を持つことを保証する。
• Weil指数的可積分Frölicher空間から、$\mathbf{D}$ 上の前層への関手 $\mathbf{J}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$ を導入する。ここで $\mathbf{D}$ は $\mathbb{R}^n$ 上の $\mathcal{C}^\infty$-代数のなす圏である。
• $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n, X) \otimes W$ と $\hom_{\mathbf{Sets}^\mathbf{D}}(-, \mathbf{J}(X))$ を含むカテゴリカルな同型を用いて、$\mathbf{J}$ が有限積と指数関数を保存することを示す。
• $\mathcal{C} \hookrightarrow \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$ の標準的埋め込みを通じて $\mathbf{J}$ を因数分解し、$\mathbf{J}_\mathcal{C}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathcal{C}$ を得る。これはCahiers toposである。
• 埋め込み $\mathcal{C} \hookrightarrow \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$ が積と指数関数を保存することを活用し、$\mathbf{J}_\mathcal{C}$ がCartesian閉構造を引き継ぐことの証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 便利なベクトル空間よりも広いクラスのFrölicher空間が、Cartesian閉構造を保ちつつCahiers toposに埋め込まれるか。
• RQ2 Frölicher空間にどのような条件を課すと、すべてのWeil函手が無限小対象による真の指数関数として作用するようになるか。
• RQ3 そのような『Weil指数的可積分性』を持つFrölicher空間の圏は、依然としてCartesian閉であるか。
• RQ4 Frölicher空間を $\mathbf{D}$ 上の前層へ写像する関手 $\mathbf{J}$ は、この文脈で積と指数関数とどのように作用するか。
• RQ5 予想を仮定したもとで、$\mathbf{FS}_{\mathbf{WE}}$ のCahiers toposへの埋め込みが、カテゴリカル構造をどの程度保っているか。

主な発見

• Weil指数的可積分Frölicher空間の圏 $\mathbf{FS}_{\mathbf{WE}}$ はCartesian閉である。これは、既知の便利なベクトル空間のCartesian閉性を一般化する。
• 関手 $\mathbf{J}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$ は、$\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n, X) \otimes W$ と $\hom_{\mathbf{Sets}^\mathbf{D}}(-, \mathbf{J}(X))$ を含む同型を用いて、有限積と指数関数を保存することが示された。
• ある予想を仮定すると、合成関手 $\mathbf{J}_\mathcal{C}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathcal{C}$ は $\mathbf{FS}_{\mathbf{WE}}$ をCahiers toposに完全かつ忠実に埋め込む。
• 埋め込み $\mathbf{J}_\mathcal{C}$ はCartesian閉構造を保存する。つまり、有限積と指数関数の両方を保存する。
• Weil延長 $X \otimes W$ は、埋め込みのもとで $W$ に付随する無限小対象による指数関数に対応する。
• この結果は、KockとReyesによる便利なベクトル空間のCahiers toposへの埋め込みを一般化し、はるかに広いクラスのFrölicher空間へと拡張された。