[論文レビュー] A multi-modes Monte Carlo finite element method for elliptic partial differential equations with random coefficients

Xiaobing Feng, Junxia Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率的係数が決定論的係数の小さな摂動である楕円型PDEを解くためのマルチモードモンテカルロ有限要素法を提案する。摂動パラメータのべき級数展開と、各モードで同一の決定論的作用素を繰り返しLU分解することで、標準的なモンテカルロ法や確率的ガラーキン法と比較して、計算量を著しく削減し、数個の決定論的問題を解くのと同等の計算複雑性を達成する。

ABSTRACT

This paper develops and analyzes an efficient numerical method for solving elliptic partial differential equations, where the diffusion coefficients are random perturbations of deterministic diffusion coefficients. The method is based upon a multi-modes representation of the solution as a power series of the perturbation parameter, and the Monte Carlo technique for sampling the probability space. One key feature of the proposed method is that the governing equations for all the expanded mode functions share the same deterministic diffusion coefficients, thus an efficient direct solver by repeated use of the $LU$ decomposition matrices can be employed for solving the finite element discretized linear systems. It is shown that the computational complexity of the whole algorithm is comparable to that of solving a few deterministic elliptic partial differential equations using the $LU$ director solver. Error estimates are derived for the method, and numerical experiments are provided to test the efficiency of the algorithm and validate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 標準的なモンテカルロ法や確率的ガラーキン法を用いた確率的係数を伴う楕円型PDEの解法における高い計算コストを低減すること。
• 微小な$ \varepsilon $を伴う$ a_0 + \varepsilon \eta $の形をとる弱い確率的拡散係数を効率的に取り扱う手法を開発すること。
• 同じ決定論的作用素を持つモード方程式の構造的類似性を活用し、各モード間でLU分解を再利用できることを示すこと。
• 高次元確率空間でのサンプリングであっても、数個の決定論的問題を解くのと同等の計算効率を達成すること。
• カルフンエン＝ローブ展開を用いて一般の確率的媒体へとフレームワークを拡張し、より広範な適用性を実現すること。

提案手法

• 解$ u^\varepsilon $を$ \varepsilon $のべき級数として展開する：$ u^\varepsilon = \sum_{n=0}^\infty \varepsilon^n u_n $。ここで各モード$ u_n $は、決定論的係数と確率的源項を伴う楕円型PDEを満たす。
• 確率的場$ \eta $の確率空間をモンテカルロ法でサンプリングし、有限要素法を各モード方程式に適用する。
• 各モードの有限要素剛性行列は、共通する$ \nabla \cdot (a_0 \nabla) $作用素のおかげで同一となるため、すべてのモードでLU分解行列を再利用可能である。
• 各サンプル実現$ \omega_j $に対して、$ u_n(\omega_j) $の解法は事前に計算された$ L $および$ U $行列を用いた前進置換と後退置換に帰着され、解法時間が著しく短縮される。
• カルフンエン＝ローブ展開を用いて、係数を$ \overline{a}(x) + \varepsilon \zeta(x,\omega) $の形に再定式化することで、一般の確率的媒体へと一般化する。ここで$ \varepsilon = O(\ell^{r/2}) $である。
• 本手法は柔軟であり、有限差分法、不連続ガラーキン法、またはスペクトル法を含む、任意の空間離散化手法と組み合わせて使用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチモード展開とモンテカルロサンプリングを組み合わせることで、弱い確率的係数を伴う確率的楕円型PDEの解法における計算コストを低減できるか？
• RQ2 すべてのモード関数に共通する決定論的作用素をどのように活用することで、有限要素離散化から生じる線形系の解法を高速化できるか？
• RQ3 提案手法の計算複雑性は、古典的なモンテカルロ法や確率的ガラーキン法と比較してどの程度か？
• RQ4 初期形が$ a_0 + \varepsilon \eta $でない係数に対しても、この手法をどの程度一般化できるか？
• RQ5 近似の精度は、モード数$ N $と摂動の大きさ$ \varepsilon $にどのように依存するか？

主な発見

• 再利用可能なLU分解のおかげで、提案されたマルチモードモンテカルロ有限要素法の計算複雑性は、LU直接解法を用いて数個の決定論的楕円型問題を解くのと同等のものとなる。
• $ \varepsilon = 0.2 $の場合、相対$ L^2 $ノルム誤差は$ N=2 $モードで0.0104から$ N=5 $モードで0.0016に低下し、中程度のモード数で高い精度を達成していることが示された。
• $ \varepsilon = 0.4 $の場合、誤差は$ N=2 $で0.0416から$ N=5 $で0.0016に減少し、モード数の増加に伴う収束の改善が確認された。
• $ \varepsilon = 0.8 $の場合、誤差は$ N=2 $で0.1632から$ N=5 $で0.0138に低下し、大きな摂動に対してはより多くのモードが必要であることが示された。
• $ \varepsilon = 0.2 $、$ N=5 $の誤差の平坦化は、モード展開の誤差ではなく、空間離散化誤差が総誤差を支配しているためである。
• カルフンエン＝ローブ展開を用いて一般の確率的媒体へと一般化した場合でも、係数を$ \overline{a}(x) + \varepsilon \zeta(x,\omega) $（$ \varepsilon = O(\ell^{r/2}) $）として表現することで、相関長$ \ell $を伴うガウス確率場への適用が可能である。