[論文レビュー] A multi-prover interactive proof for NEXP sound against entangled provers

Tsuyoshi Ito, Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用数 50

ひとこと要約

この論文は、もつれを共有する複数の証人を用いたインタラクティブ証明系の言語のクラスである MIP* が、非決定的指数時間で解ける問題のクラス NEXP を含むことを確立している。著者らは、古典的インタラクティブ証明系の主要な構成要素である多項線形性テストが、証人がもつれを共有しても依然として妥当であることを証明しており、これによりもつれが多証人インタラクティブ証明系の計算能力を弱めるものではないことが示された。

ABSTRACT

We prove a strong limitation on the ability of entangled provers to collude in a multiplayer game. Our main result is the first nontrivial lower bound on the class MIP* of languages having multi-prover interactive proofs with entangled provers; namely MIP* contains NEXP, the class of languages decidable in non-deterministic exponential time. While Babai, Fortnow, and Lund (Computational Complexity 1991) proved the celebrated equality MIP = NEXP in the absence of entanglement, ever since the introduction of the class MIP* it was open whether shared entanglement between the provers could weaken or strengthen the computational power of multi-prover interactive proofs. Our result shows that it does not weaken their computational power: MIP* contains MIP. At the heart of our result is a proof that Babai, Fortnow, and Lund's multilinearity test is sound even in the presence of entanglement between the provers, and our analysis of this test could be of independent interest. As a byproduct we show that the correlations produced by any entangled strategy which succeeds in the multilinearity test with high probability can always be closely approximated using shared randomness alone.

研究の動機と目的

• 複数の証人がもつれを共有する場合、それが多証人インタラクティブ証明系の計算能力を強化するか、弱体化するかという根本的な未解決問題を解明すること。
• MIP* の複雑度クラスに対する非自明な下界を確立し、NEXP を含むことを示すことで、古典的 MIP = NEXP の結果をもつれを含む量子設定に拡張すること。
• 多項線形性テストがもつれを共有する証人に対してどれほど頑健であるかを分析し、証人がもつれ戦略を用いてもテストが依然として妥当であることを証明すること。
• 高確率で多項線形性テストに成功するもつれ戦略は、共有ランダムネスのみを用いてもよく近似できることを示し、ある種の古典的シミュレータビリティを示すこと。
• もつれがこの文脈における古典的証明系の妥当性を低下させないことを示すことで、量子複雑度理論の基礎的結果を提供すること。

提案手法

• Babai, Fortnow, Lund (1991) が提唱した古典的多項線形性テストを、もつれを共有する証人を想定する量子設定に適応し、もつれ下でもその妥当性を証明すること。
• 有限体上の線形汎関数の構造に依存する、多項線形性テストの成功確率を制限する新しい解析手法を用いること。
• バイアス近似技術を適用し、高確率で成功するもつれ戦略は、共有ランダムネスのみで達成可能な相関に近いものでなければならないことを示すこと。
• 検証者が多項式時間アルゴリズムを用いて関数の偏りのある確率空間を生成するプロトコルを構築し、もつれ下での妥当性解析を可能にすること。
• ブール回路の算術化と低バイアス確率空間の構築を応用し、もつれ証人を用いた多項線形性テストのシミュレーションを行うこと。
• もつれ下での多項線形性テストの妥当性と関連プロトコルの完全性を組み合わせることで、完全な完全性と有界な妥当性を達成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多証人インタラクティブ証明系において、証人たちがもつれを共有することは、そのシステムの計算能力を弱体化させるか、強化するか？
• RQ2 古典的インタラクティブ証明系の基盤たる多項線形性テストは、証人たちがもつれを共有できる場合でも依然として妥当であるか？
• RQ3 多項線形性テストにおいてもつれ証人が生成する相関は、古典的共有ランダムネスによって近似可能か？
• RQ4 もつれを考慮した場合、MIP* の複雑度クラスの最小下界は何か？ また、NEXP を含むか？
• RQ5 証人たちが量子的にもつれている場合、古典的インタラクティブ証明系の妥当性は保たれるか？

主な発見

• MIP* は NEXP を含む。これは、もつれを共有する多証人インタラクティブ証明系が、古典的多証人インタラクティブ証明系と同等以上に強力であることを意味する。
• もつれ戦略を用いても多項線形性テストは依然として妥当である。これは、もつれがこのテストで不正を可能にしないことを示す重要な技術的貢献である。
• 高確率で多項線形性テストに成功するもつれ戦略は、共有古典ランダムネスのみを用いてもよく近似できる。これは、この文脈において量子非局所性が利点をもたらさないことを示唆する。
• プロトコルの妥当性誤差は 5/8 に加え、体のサイズに応じて多項式的に減少する項が加わる。これにより、非ゼロの入力に対して常に妥当性が保証される。
• 算術的表現による関数上の低バイアス確率空間の構築により、もつれ下での多項線形性の検証が可能になった。
• この結果により、MIP ⊆ MIP* が示され、もつれが多証人インタラクティブ証明系の計算能力を低下させないことが示された。