[論文レビュー] A multidimensional Borg-Levinson theorem for magnetic Schr\\"odinger operators with partial spectral data

Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 13被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、磁気シュレーディンガー作用素に対して、磁気場 $dA$ と電気的ポテンシャル $V$ が境界スペクトルデータ $\{\lambda_k, \partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}\}$ の漸近的知識からゲージ同値を除き一意に特定可能であることを示す、多次元のボルグ＝レヴィンソン定理を確立する。ここで $\lambda_k$ は固有値、$\varphi_k$ は固有関数である。証明は、複素幾何学的オプティクス解とディリクレからノイマン写像の漸近的解析に依拠し、部分スペクトルデータから磁気的および電気的ポテンシャルを回復する。

ABSTRACT

We consider the multidimensional Borg-Levinson theorem of determining both the magnetic field $dA$ and the electric potential $V$, appearing in the Dirichlet realization of the magnetic Schr\\"odinger operator $H=(-{\ m i}\ abla+A)^2+V$ on a bounded domain $\\Omega\\subset\\mathbb R^n$, $n\\geq2$, from partial knowledge of the boundary spectral data of $H$. The full boundary spectral data are given by the set $\\{(\\lambda_{k},{\\partial_\ u \\phi_{k}}_{|\\partial\\Omega}):\\ k\\geq1\\}$, where $\\{ \\lambda_k:\\ k\\in \\mathbb N^* \\}$ is the non-decreasing sequence of eigenvalues of $H$, $\\{ \\phi_k:\\ k\\in \\mathbb N^* \\}$ an associated Hilbertian basis of eigenfunctions and $\ u$ is the unit outward normal vector to $\\partial\\Omega$. We prove that some asymptotic knowledge of $(\\lambda_{k},{\\partial_\ u \\phi_{k}}_{|\\partial\\Omega})$ with respect to $k\\geq1$ determines uniquely the magnetic field $dA$ and the electric potential $V$.

研究の動機と目的

• 磁気シュレーディンガー作用素 $H = (-i\nabla + A)^2 + V$ における磁気場 $dA$ と電気的ポテンシャル $V$ が、部分境界スペクトルデータから逆スペクトル問題として同定可能かどうかを検討すること。
• 次元 $n \geq 2$ における磁気シュレーディンガー設定において、古典的ボルグ＝レヴィンソン定理を部分スペクトル情報と共に拡張すること。
• 固有値 $\lambda_k$ と法線微分 $\partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}$ の $k \to \infty$ における漸近的挙動から、$H$ がゲージ同値を除き一意に特定可能であることを確立すること。
• 与えられたデータから磁気場 $dA$ とポテンシャル $V$ がゲージ変換を除き一意に特定可能であることを示すために、ゲージの不確かさを克服すること。

提案手法

• 磁気シュレーディンガー方程式の特殊解を、特定の漸近的挙動を有する複素幾何学的オプティクス（CGO）解を用いて構成する。
• 作用素 $H_j$ に関連するディリクレからノイマン写像 $\Lambda_{j,\lambda}$ を用いて、境界スペクトルデータと未知係数を関連付ける。
• パrameter $\mu \to -\infty$ におけるスペクトルデータの差の漸近的解析を適用し、関数 $G(\lambda, \mu, \Phi_1, \Phi_2)$ が極限 $G_*(\lambda, \Phi_1, \Phi_2)$ に収束することを示す。
• パrameter $\tau \to +\infty$ における極限 $G_*(\lambda, \Phi_1, \Phi_2) \to 0$ を用いて、エネルギー推定とスペクトル比較により $dA_1 = dA_2$ および $V_1 = V_2$ を導出する。
• 関数 $p \in W^{2,\infty}(\mathbb{R}^n) \cap H_0^1(\Omega)$ に対して $A_2 - A_1 = \nabla p$ であることを示し、$e^{ip}$ を用いたユニタリ同値性によりゲージ同値性を確立する。
• $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ の連結性に依拠し、$p = 0$ on $\partial\Omega$ を保証することで、適切に定義されたゲージ変換の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元の磁気シュレーディンガー作用素における磁気場 $dA$ と電気的ポテンシャル $V$ は、境界スペクトルデータ $\{\lambda_k, \partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}\}$ の漸近的知識から一意に特定可能か？
• RQ2 ゲージ不確かさは、$H = (-i\nabla + A)^2 + V$ の逆スペクトル同定にどの程度影響を与えるか？
• RQ3 固有値および固有関数の法線微分の漸近的挙動は、$dA$ と $V$ の再構成にどのように利用可能か？
• RQ4 領域 $\Omega$ および係数 $A$, $V$ にどのような条件下で、部分データを用いた逆スペクトル問題において一意性が保証されるか？

主な発見

• 磁気場 $dA$ は、$k \to \infty$ における境界スペクトルデータ $\{\lambda_k, \partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}\}$ の漸近的知識から一意に特定可能である。
• 電気的ポテンシャル $V$ は、同じ漸近的スペクトルデータからゲージ同値を除き一意に特定可能である。
• ディリクレからノイマン写像の差 $S_1 - S_2$ は、$\mu \to -\infty$ においてゼロに収束し、$dA_1 = dA_2$ を示唆する。
• $\mu \to -\infty$ において関数 $G(\lambda, \mu, \Phi_1, \Phi_2)$ が $G_*(\lambda, \Phi_1, \Phi_2)$ に収束し、さらに $\tau \to +\infty$ で $G_*$ がゼロに近づく。これは $V_1 = V_2$ を示すために鍵となる。
• 関数 $p = 0$ on $\partial\Omega$ を満たす $p \in W^{2,\infty}(\mathbb{R}^n) \cap H_0^1(\Omega)$ を用いて $A_2 - A_1 = \nabla p$ であることを示し、$H_2 = e^{-ip} H_1 e^{ip}$ としてユニタリ同値性を確立する。この変換は $\Omega$ 上で適切に定義される。
• 証明は、$\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ の連結性に依拠し、$p$ が境界で消えることを保証する。これはゲージ同値性の議論において不可欠である。