[論文レビュー] A multidimensional continued fraction generalization of Stern's diatomic sequence

Thomas A. Garrity|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、区間ではなく三角形を分割するためにファレイ多変数連分数アルゴリズムを適用することにより、シュテルンの二項的系列の多次元一般化—すなわちシュテルンの三項的系列—を導入する。系列は三重項に対する再帰的行列演算によって生成され、古典的系列と類似した構造的性質を示す。これには、有向グラフにおける経路数の解釈や、レベル間で和の性質を保つ再帰的関係が含まれる。

ABSTRACT

Continued fractions are linked to Stern's diatomic sequence 0,1,1,2,1,3,2,3,1,4,... (given by the recursion relation a_2n=a_n and a_{2n+1} = a_n + a_{n+1}, where a_0=0 and a_1=1), which has long been known. Using a particular multidimensional continued fraction algorithm (the Farey algorithm), we will generalize the diatomic sequence to a collection of numbers that quite naturally should be called the triatomic sequence (or a two-dimensional Pascal with memory sequence). As continued fractions and the diatomic sequence can be thought of as coming from systematic subdivisions of the unit interval, this new triatomic sequence will arise by a systematic subdivision of a triangle. We will discuss some of the algebraic properties for the tri-atomic sequence.

研究の動機と目的

• 多変数連分数を用いて、シュテルンの二項的系列を二次元アナログに一般化すること。
• ファレイアルゴリズムを用いた三角形の体系的分割により、新たな系列—シュテルンの三項的系列—を確立すること。
• 新系列の代数的および組合的性質を調査すること。これには再帰的関係や経路数の解釈が含まれる。
• 古典的シュテルン系列の性質とそれらの三項的一般化との類似性を明らかにすること。
• 今後の研究のための未解決問題を提起すること。これには多項式アナログや他の多次元連分数系との関連が含まれる。

提案手法

• 初期三重項 (1,1,1) を用い、頂点ラベル付けに対応する3つの行列 A₀, A₁, A₂ を用いて三角形の再帰的分割により三項的系列を定義する。
• インデックスタプル (i₁,…,iₙ) ∈ {0,1,2}ⁿ を用いてレベル n の部分三角形をラベル付けし、行列乗算により関連する三重項を計算する。
• 再帰的関係を確立する：δₙ(2n) = δₙ₋₁(n)，δₙ(2n+1) = δₙ₋₁(n) + δₙ₋₁(n+1)，および δₙ(3n+2) = δₙ₋₁(n) + δₙ₋₁(n+1) + δₙ₋₁(n+2)。
• 各三角形がその頂点から新しい中心頂点へ3本の辺を生成する有向グラフにおいて、系列を経路数としてモデル化する。
• 行列表現 Mb₀…bᵢ とファレイ写像を用いて、古典的シュテルン系列の構成を高次元に一般化する。
• レベル n における要素の和が 3ⁿ⁺¹ であることを証明し、またレベル n−1 の各要素が次のレベルの和に正確に2回寄与することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして多変数連分数を用いて、古典的シュテルン二項的系列を二次元的設定に一般化できるか？
• RQ2 得られた三項的系列はどのような代数的および再帰的性質を満たし、それらは元の系列の性質とどのように類似しているか？
• RQ3 三項的系列は、三角形分割から導かれる有向グラフにおける経路数として組合的に解釈可能か？
• RQ4 ファレイアルゴリズムと三項的系列の出現との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 シュテルン系列の既知の性質—例えばハイパーバイナリ表現やハノイの塔グラフとの関連—の三項的設定における類似物は何か？

主な発見

• 三項的系列は、行列 A₀, A₁, A₂ を用いた三角形の再帰的分割により生成され、各レベル n で 3ⁿ 個の部分三角形と整数の三重項が得られる。
• レベル n における要素の総和は 3ⁿ⁺¹ であり、レベル n−1 の各要素が次のレベルの和に正確に2回寄与する。
• 再帰的関係 δₙ(2n) = δₙ₋₁(n)，δₙ(2n+1) = δₙ₋₁(n) + δₙ₋₁(n+1)，および δₙ(3n+2) = δₙ₋₁(n) + δₙ₋₁(n+1) + δₙ₋₁(n+2) がこの系列に成立する。
• 系列は、繰り返しの分割から構築されたグラフにおける、3つの初期頂点から部分三角形の l 番目の頂点への有向経路数として解釈できる。
• 各レベル n における3つの成分 δₙ¹(n) + δₙ²(n) + δₙ³(n) の和は 3ⁿ⁺¹ に等しく、値はレベルとインデックスに従って予測可能に増加する。
• 本論文は、k=5 までの一覧表を提供し、δₖ(1) = 3ᵏ⁺¹ および δₖ(3ᵏ+1) = 3ᵏ⁺¹ といった一貫したパターンが確認できる。