[論文レビュー] A multidimensional Szemerédi's theorem in the primes

Tatchai Titichetrakun|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、擬似ランダム測度とハイパーグラフ正則性を用いて、グリーン＝トーティの定理を高次元構造へ拡張することで、素数における多次元のツェメールディ型定理を確立する。転送原理、重み付きハイパーグラフ正則性、および篩法を応用し、ほとんど素数におけるコーナー構造や一般の多次元構造の存在を証明する。これは疎な素数集合における等差数列の高次元化を一般化する。

ABSTRACT

In this thesis, we investigate topics related to the Green-Tao theorem on arithmetic progression in primes in higher dimensions. Our main tool is the pseudorandom measure majorizing primes defined in [51] concentrated on almost primes. In chapter 2, we combine the sieve technique used in constructing pseudorandom measure (in this case, Goldston-Yildirim sum and almost primes) with the circle method of Birch to study the number of almost prime solutions of diophantine systems (with some rank conditions). Our rank condition is similar to the integer case, due to the heuristics that almost primes are pseudorandom. In chapter 3, we investigate the generalization of Green-Tao’s theorem to higher dimensions in the case of corner configuration. We apply the transference principle of Green-Tao (with hyperplane separation technique of Gowers) in this setting. This problem is also related to the densification trick in [16]. In chapter 4, we extend the result of Chapter 3 to obtain the full multi-dimensional analogue of the Green-Tao’s theorem, using hypergraph regularity method by directly proving a version of hypergraph removal lemma in the weighted hypergraphs. The method is to run an energy increment on a parametric weight systems of measures, rather than on a single measure space, to overcome the presence of intermediate weights. Contrary to [110], [68] where the authors investigate the problem using a measure supported on primes and infinite linear form conditions, relying on the Gowers Inverse Norms Conjecture.

研究の動機と目的

• 素数における等差数列のグリーン＝トーティの定理を、コーナーや多次元グリッドなどの高次元構造へ一般化すること。
• 擬似ランダム性のヒューリスティクスを活用して、ほとんど素数集合におけるこのような構造の存在を確立すること。
• 重み付き測度系における中間的重みの技術的課題を、パラメトリック重み系とエネルギー増加の議論を用いて克服すること。
• ギowers逆ノルム予想や無限線形形式条件に依存せずに、素数における多次元ツェメールディの定理の直接的証明を提供すること。

提案手法

• ゴールドストン＝イリルデム和およびほとんど素数を用いて構築された、素数の分布を高次元でモデル化する擬似ランダム測度を用いる。
• バーチの円法を応用し、整数の場合と類似したランク条件を満たすディオファントス系のほとんど素数解の個数を数える。
• グリーン＝トーティの転送原理に加え、ガウワーの超平面分離技術を組み合わせ、稠密な集合から疎なほとんど素数集合への結果の転送を実現する。
• 中間的重みを取り扱うために、パラメトリック重み系の測度を導入し、重み付きハイパーグラフにおけるエネルギー増加の議論を可能にする。
• ハイパーグラフ正則性法を用いた重み付きハイパーグラフ除去補題のバージョンを適用し、多次元構造の存在を導出する。
• ギowers逆ノルム予想や無限線形形式条件に依存せず、[110] や [68] とは異なる手法を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数における等差数列のグリーン＝トーティの定理を、素数におけるコーナーのような高次元構造へ拡張できるか？
• RQ2 転送原理は、ほとんど素数のような疎な集合における多次元パターンを証明するためにどのように適合されるか？
• RQ3 パラメトリック重み系と中間的重みを取り扱う際、ハイパーグラフ正則性法にどのような修正が必要か？
• RQ4 ギowers逆ノルム予想を仮定せずに、素数における多次元ツェメールディの定理を証明できるか？
• RQ5 高次元ディオファントス系の文脈において、ほとんど素数はどの程度擬似ランダムに振る舞うか？

主な発見

• 論文は、ほとんど素数におけるコーナー構造の存在を確立し、グリーン＝トーティの定理を高次元的状況へ拡張する。
• 重み付きハイパーグラフにおける直接的なハイパーグラフ正則性法を用いて、素数における多次元グリーン＝トーティ定理の類似が証明される。
• 中間的重みの課題は、エネルギー増加の議論を可能にするパラメトリック重み系の導入により、効果的に克服された。
• ギowers逆ノルム予想や無限線形形式条件に依存せず、これにより先行研究とは明確に異なる。
• ディオファントス系のランク条件は、擬似ランダム性のヒューリスティクスのもとで保存され、ほとんど素数が高次元における素数のモデルとしての有効性を裏付ける。
• 円法をほとんど素数解に適用することで、篩に基づく擬似ランダム測度が古典的解析的整数論技法と整合的であることが確認される。