[論文レビュー] A multigrid algorithm for the $p$-version of the Virtual Element Method

Paola F. Antonietti, Lorenzo Mascotto+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2次元ポアソン問題に$p$版バーチャルセルメッシュ法（VEM）を適用した多グリッド法を提示する。Wサイクルを用い、粗めのグリッドでは多項式次数を低減する。補助的VEM空間を導入して計算可能な prolongation 演算子を構築することで、均一収束性を達成し、PCGに均一な preconditioner を提供する。数値結果により、多角形メッシュや多項式次数にわたる堅牢な性能が確認された。

ABSTRACT

We present a multigrid algorithm for the solution of the linear systems of equations stemming from the $p-$version of the Virtual Element discretization of a two-dimensional Poisson problem. The sequence of coarse spaces are constructed decreasing progressively the polynomial approximation degree of the Virtual Element space, as in standard $p$-multigrid schemes. The construction of the interspace operators relies on auxiliary Virtual Element spaces, where it is possible to compute higher order polynomial projectors. We prove that the multigrid scheme is uniformly convergent, provided the number of smoothing steps is chosen sufficiently large. We also demonstrate that the resulting scheme provides a uniform preconditioner with respect to the number of degrees of freedom that can be employed to accelerate the convergence of classical Krylov-based iterative schemes. Numerical experiments validate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 2次元ポアソン問題の$p$版VEM離散化から生じる線形方程式系に対する効率的な反復解法の開発。
• 一般の多角形メッシュ上では標準的VEM自由度が prolongation に不十分であるため、粗めのグリッドにおける一貫性のあるソルバの構築という課題への対処。
• 十分なスムージングステップが与えられた場合、$p$-multigrid Wサイクルアルゴリズムの均一収束性の証明。
• 多グリッドスキームが、プリコンディショニング共役勾配法（PCG）における均一な preconditioner として機能することの証明。
• 構造的および非構造的多角形メッシュ上での理論的結果の数値実験による検証。

提案手法

• Wサイクル$p$-multigridアルゴリズムを採用し、粗めのグリッドはVEM空間の多項式次数を段階的に低減することで構築する。
• 標準的自由度だけではこのような演算子をサポートできないため、計算可能な prolongation 演算子の構築を可能にするために補助的VEM空間を導入する。
• 間隔空間演算子は、補助空間に利用可能な高次多項式射影子を用いて構築され、各レベル間で一貫性が保証される。
• 理論的分析では、均一収束性の証明のためリチャードソンスムージングを用いるが、数値実験では収束速度の向上を図るため対称化ガウス＝ザイデルスムージングを採用する。
• 多グリッドスキームをPCGのpreconditionerとしてテストし、収束は残差が$10^{-6}$未満に低下するまで測定する。
• 正方形、ボロノイ＝ロイド、および正六角形多角形メッシュを用いた数値実験により、異なるメッシュタイプにおける堅牢性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多角形メッシュ上での$p$版バーチャルセルメッシュ法に適した$p$-multigridアルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 標準的VEM自由度が補間に不十分な場合、一貫性のある prolongation 演算子をどのように設計できるか？
• RQ3 提案された多グリッドスキームは、自由度の数に依存せずに均一に収束するか？
• RQ4 多グリッドスキームは、PCGのようなKrylov系ソルバの均一なpreconditionerとして機能できるか？
• RQ5 スムージング法の選択（リチャードソン対比ガウス＝ザイデル）が、アルゴリズムの収束特性に与える影響は何か？

主な発見

• 十分なスムージングステップ数が与えられた場合、古典的多グリッドフレームワークを用いて、$p$-multigrid Wサイクルアルゴリズムが均一収束することを証明した。
• 収束に必要な最小の後方スムージングステップ数は多項式次数$p$に依存し、異なるメッシュタイプにおいて$p=2$から$p=6$の範囲で2〜4の間で変動した。
• 対称化ガウス＝ザイデルスムージングを用いることで、リチャードソンスムージングに比べて収束係数が著しく低下し、ボロノイ＝ロイドメッシュ上での$p=5$、$m=14$の条件下で0.35未満にまで低下した。
• 多グリッドpreconditionerにより、PCGの反復回数が$p$の増加にかかわらずほぼ一定に保たれ、特にガウス＝ザイデルスムージングを用いた場合、均一なpreconditioningが実現された。
• 不完全コレスキーpreconditionerは、提案された多グリッドpreconditionerとは異なり、均一収束を提供しなかった。
• 構造的（六角形）および非構造的（ボロノイ＝ロイド）多角形メッシュの両方で、本手法は堅牢な性能を維持し、一般性とスケーラビリティが確認された。