[論文レビュー] A multilevel based reweighting algorithm with joint regularizers for sparse recovery

Jackie Ma, Maximilian März|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 43被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、反復的再重み付けと連合全一般化変動（TGV）正則化を組み合わせた多層再重み付けADMM/スプリットブレグマン法を提案する。ウェーブレットやシェアレットなどの多スケール変換係数に重みを適応させることで、最小限の計算コストで高い再構成品質を達成し、フーリエおよびラドン測定設定において最先端の手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

Sparsity is one of the key concepts that allows the recovery of signals that are subsampled at a rate significantly lower than required by the Nyquist-Shannon sampling theorem. Our proposed framework uses arbitrary multiscale transforms, such as those build upon wavelets or shearlets, as a sparsity promoting prior which allow to decompose the image into different scales such that image features can be optimally extracted. In order to further exploit the sparsity of the recovered signal we combine the method of reweighted $\ell^1$, introduced by Candès et al., with iteratively updated weights accounting for the multilevel structure of the signal. This is done by directly incorporating this approach into a split Bregman based algorithmic framework. Furthermore, we add total generalized variation (TGV) as a second regularizer into the split Bregman algorithm. The resulting algorithm is then applied to a classical and widely considered task in signal- and image processing which is the reconstruction of images from their Fourier measurements. Our numerical experiments show a highly improved performance at relatively low computational costs compared to many other well established methods and strongly suggest that sparsity is better exploited by our method.

研究の動機と目的

• スパース画像再構成の品質を向上させるために、多層スパース構造と適応的再重み付けを統合する。
• 標準的な $β$-最小化および全変動（TV）正則化の限界、たとえば段差アーチファクトやスパース性促進の不十分さを解消する。
• ウェーブレットやシェアレットなどの多スケール変換を活用し、TGVによる連合正則化を組み合わせた柔軟で効率的なアルゴリズムを開発する。
• フーリエおよびラドン測定を含む多様な画像処理問題において、最小限のパrameterチューニングで頑健な性能を発揮することを可能にする。
• 反復的再重み付けを多層係数に適応させることで、標準的手法に比べて再構成忠実度が顕著に向上することを示す。

提案手法

• スパース回復のための制約付き最適化問題を解くために、スプリットブレグマンフレームワークとADMMを採用する。
• 多スケール係数（例えばウェーブレットまたはシェアレット係数）のスパース構造に基づいて、重み行列 $W_k$ を更新する多層適応再重み付け戦略を導入する。
• 段差を抑制しエッジを効果的に保持するため、2次全一般化変動（TGV）正則化を組み込む。
• スプリットブレグマンのサブ問題において、適応的多層しきい値を用いたソフトしきい値処理を実装し、閉形式解を得て計算コストを低減する。
• 測定行列が対角化不能である場合、PCGを用いて反復的に線形方程式を解くことで、フーリエおよびラドン測定モデルにアルゴリズムを適用する。
• スパース変換 ($\Psi$) とTGVを組み合わせたハイブリッド正則化方式を採用し、解のスパース性と滑らかさを同時に促進する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多層変換係数に適応した反復的再重み付けは、スパース回復における画像再構成品質を顕著に向上させることができるか？
• RQ2 TGVと多層再重み付け $\ell^1$-最小化を併用した場合、標準的なTVや単一スパース手法に比べて、アーチファクト抑制およびエッジ保持性にどのような差が生じるか？
• RQ3 提案手法は、フーリエおよびラドン測定を含む多様な画像モodalitiesにわたって、どの程度の頑健性を示すか？
• RQ4 標準の圧縮センシングソルバーに比べて、多層再重み付けの計算コストはどの程度で、再構成性能の向上に見合うか？
• RQ5 関連研究における3Dシェアレットへの拡張を踏まえると、本手法は実世界の3D医用画像処理データに効果的に適用可能か？

主な発見

• 本手法であるWIRL1+TGVは、45本のファンビーム投影から得た脳プローブの再構成において、相対誤差（RE）が0.009、SSIMが0.999に達し、TV（RE=0.094）およびTGV（RE=0.094）を著しく上回った。
• フーリエ測定実験では、再構成SSIMが0.999、REが0.008に達し、WIRL1およびTGV単独の手法をすべて上回った。
• 再重み付けの計算コストは管理可能で、フーリエデータでは全WIRL1+TGVアルゴリズムが350.61秒、ラドンデータでは1117秒を要したが、TGVに比べてやや高く、他の再重み付け手法に比べて顕著に優れていた。
• 信号の変動に対しても頑健であり、さまざまなテスト信号および測定タイプにおいて、高い再構成品質を維持した。
• 重複する変換（ウェーブレット、シェアレット）を用いることで、特に曲線構造に対して効果的なスパース表現が可能となり、従来のウェーブレットを凌駕した。
• 測定行列のコherencyが強い状況下でも、わずかなラドン投影（45角度）からの再構成でほぼ完全な回復を達成し、挑戦的な条件下でも強力な情報保持能力を示した。