[論文レビュー] A multilinear reverse Hölder inequality with applications to multilinear weighted norm inequalities

David Cruz-Uribe, Kabe Moen|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$m$-重みの$A_\infty$重みに対する多変数逆ホルダー不等式を確立し、各重み$w_i$が指数$s_i$における逆ホルダー条件を満たし、$\sum 1/s_i = 1$を満たすならば、それらの平均化されたべき乗平均の積が、積$\prod w_i$の平均によって点ごとに支配されることを証明する。この結果により、二重重みノルム不等式に対する多変数最大作用素の新しい十分条件と、多変数$A_{\vec{p}}$重みの構造定理の両方が得られる。

ABSTRACT

In this note we prove a multilinear version of the reverse Hölder inequality in the theory of Muckenhoupt $A_p$ weights. We give two applications of this inequality to the study of multilinear weighted norm inequalities. First, we prove a structure theorem for multilinear $A_{\vec{p}}$ weights; second, we give a new sufficient condition for multilinear, two-weight norm inequalities for the maximal operator.

研究の動機と目的

• 古典的な逆ホルダー不等式を$m$-重みを含む多変数設定に拡張すること。
• 多変数最大作用素の二重重みノルム不等式の十分条件を確立すること。
• 多変数逆ホルダー不等式を用いて、多変数$A_{\vec{p}}$重みの構造定理を提供すること。
• 重みに$A_\infty$仮定の下で$S_{\vec{p}}$テスト条件の十分性に関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• 先行研究におけるミュケンホプト重みのスケーリング性質を用いて、多変数逆ホルダー不等式を導出する。
• $w_i \in RH_{s_i}$が成り立つならば$w_i^{s_i} \in A_\infty$であることに着目し、$w_i^{s_i}$に逆ホルダー不等式を適用する。
• $\sum 1/s_i = 1$を満たす指数$s_i$を用いた多変数ホルダーの不等式を用い、平均の積を制御する。
• $A_2$条件とホルダーの不等式を2回用いて、重み付き平均と積の幾何平均との関係を確立する。
• $w \mapsto w^s$の変換による$A_p$と$RH_s$クラスの双対性関係を適用する。
• 得られた結果を用いて、重み$\sigma_i \in A_\infty$の下で$S_{\vec{p}}$テスト条件が二重重み不等式の十分条件であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆ホルダー不等式は、$\sum 1/s_i = 1$を満たす多変数重みに拡張可能か？
• RQ2 このような条件下で$m$-重みの$A_{\vec{p}}$重みの構造的性質は何か？
• RQ3 $\sigma_i \in A_\infty$の下で$S_{\vec{p}}$テスト条件が二重重みノルム不等式の十分条件か？
• RQ4 多変数逆ホルダー不等式は、多変数最大作用素の二重重みノルム不等式を含意するか？

主な発見

• 多変数逆ホルダー不等式が成立する：$w_i \in RH_{s_i}$で$\sum 1/s_i = 1$ならば、$\prod_{i=1}^m \left( \mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-4.86108pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-3.25pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-2.29166pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-1.875pt}}\!\int_Q w_i^{s_i} \right)^{1/s_i} \leq C \mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-4.86108pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-3.25pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-2.29166pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-1.875pt}}\!\int_Q \prod_{i=1}^m w_i \, dx$が成り立つ。
• $w \in A_p$かつ$w^{1-p'} \in A_\infty$ならば$w \in A_p$である。これは既知の$A_p$特徴付けの多変数一般化である。
• $\sigma_i \in A_\infty$の下で$S_{\vec{p}}$条件が二重重みノルム不等式$\|\mathcal{M}(\vec{f}\sigma)\|_{L^p(u)} \leq C \prod \|f_i\|_{L^{p_i}(\sigma_i)}$の十分条件である。
• 多変数逆ホルダー不等式により、$\sigma_i \in A_\infty$が、二重重み不等式に十分である多変数逆ホルダー条件（1.5）の成立を含意する。
• 本結果により、$\sigma_i \in A_\infty$の下で二重重み不等式の新たな十分条件が得られ、多変数設定における未解決問題が解決される。